小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第15讲二次函数中相似三角形的存在性（核心考点讲与练）【基础知识】二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。【考点剖析】1．（2022春•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x3﹣分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D，点C为抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）点P在抛物线上，若∠PAC＝∠BAD，求点P的坐标．（4）联结BC，延长DB交x轴于点E，点Q是直线y＝x3﹣上的动点，如果△QBC与△AED是相似三角形，求点Q的坐标．【分析】（1）用待定系数法即得抛物线的表达式为y＝x22﹣x3﹣；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）求出△ABD三边长，可判断△ABD是直角三角形，即可得tan∠BAD；（3）过P作PM⊥x轴于M，设P（m，m22﹣m3﹣），根据∠PAC＝∠BAD，有tan∠PAC，分两种情况列方程即可得答案；（4）可得∠CBA＝∠DAE，即知Q在B上方，①当时，，②当时，，分别解方程可得Q坐标为（，）或（3，0）．【解答】解：（1）在y＝x3﹣中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x22﹣x3﹣；（2） y＝x22﹣x3﹣＝（x1﹣）24﹣，∴D（1，﹣4），又 A（3，0），B（0，﹣3），∴AD2，BD，AB3，∴AB2+BD2＝（3）2+（）2＝20，AD2＝（2）2＝20，∴AB2+BD2＝AD2，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，tan∴∠BAD；（3）过P作PM⊥x轴于M，如图：设P（m，m22﹣m3﹣），①当P在x轴上方时，PM＝m22﹣m3﹣，AM＝3﹣m，由（2）知tan∠BAD，又∠PAC＝∠BAD，tan∴∠PAC，∴，即，解得m＝3（增根，舍去）或m，∴P（，），②当P在x轴下方时，P'M'＝﹣m2+2m+3，AM'＝3﹣m，同理可得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得m＝3（舍去）或m，∴P'（，），综上所述，P的坐标为（，）或（，）；（4）如图：由y＝x22﹣x3﹣可得C（﹣1，0），又A（3，0），B（0，﹣3），tan∴∠CBOtan∠BAD，∠OBA＝45°＝∠OAB，∴∠CBA＝∠DAE， △QBC与△AED是相似三角形，∴Q在B上方，且或，由B（0，﹣3），D（1，﹣4）得直线BD解析式为y＝﹣x3﹣，令y＝0得x＝﹣3，∴E（﹣3，0）， A（3，0），D（1，﹣4），∴AE＝6，AD＝2，设Q（m，m3﹣），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com B（0，﹣3），C（﹣1，0），∴BC，BQm，①当时，∴，解得m，∴Q（，），②当时，，解得m＝3，∴Q（3，0），综上所述，Q坐标为（，）或（3，0）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定，勾股定理的应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．2．（2022春•杨浦区校级月考）已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线yx与边BC相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P在对称轴上，且△PAM与△ABD相似，求小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com点P的坐标．【分析】（1）由已知可得，BC上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线yx与...