小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第10讲重心知识归纳1、三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心2．三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍典型例题一、重心例题1：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．如图，是的中线，交于点，求证：.GFEBCAGFEBCA参考答案：证明：联结， 分别为的中点∴且即∴归纳总结：三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍试一试：1．如图，已知：△ABC的中线AD、CE相交于点G，AD=6cm，EG=3cm，则AG=_____,EC=_______.GEDCBA2．如图，在ΔABC中，AM是中线，G是重心，GD∥BC，交AC于D．若BC＝6，则GD＝．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com参考答案：1．4，9；2．2例题2：已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长．参考答案：延长交于,则为中点，在中，∴试一试：已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=6，则CG的长为．参考答案：2二、三角形相似复习例题3：如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D的直线交边AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：．EBFACD教学说明：此题考查三角形一边的平行线性质定理推论；注意讲解此类题作平行线的不同方法；证明：如图，过点C作CG∥AB，交DF于点G．AGCBDMGACBGACBDGEBFACD小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com CG∥AD，∴，同理：，又 AD=BD，∴，∴∴试一试：如图，直线BD交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且，．求的值．FECABD参考答案：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，则有，又 ，∴设AF=7k，FB=3k，则AB=10k，于是AG=4k，GF=3k，∴．例题4：如，在图RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点D是BC的中点，点E是AB上的边点，动DF⊥DE交射线AC于点F．（1）当EF∥BC，求时BE的；长（2）联结EF，当ΔDEF和ΔABC相似，求时BE的．长考答案：（参1）点过E作EH⊥BC，垂足为H．易得ΔEHB∽ΔACB设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k EF∥BC∴∠EFD=∠FDCGFECABD（备用图）BCA（备用图）BCABDEFCA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠FDE=∠C=90°∴ΔEFD∽ΔFDC∴EFFD=FDCD∴FD2=EF⋅CD即9k2+4=2(4−4k)化，得简9k2+8k−4=0解得k=−4±2√139（舍负值去）∴BE=5k=10√13−209（3）点过E作EH⊥BC，垂足为H．易得ΔEHB∽ΔACB设EH=3k，BE=5k ∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°∴∠HED=∠FDC ∠EHD=∠C=90°∴ΔEHD∽ΔDCF∴EHCD=DEDF当ΔDEF和ΔABC相似，有情：时两种况1°DEDF=ACBC=34∴EHCD=34即3k2=34解得k=12∴BE=5k=522°DEDF=BCAC=43∴EHCD=43即3k2=43解得k=89∴BE=5k=409合综1°、2°，当ΔDEF和ΔABC相似，时BE的长为52或409．试一试：如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点点为射线上一动点，且.（1）当时，联结,求的余切值；（2）当点在线段上时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结，若为等腰三角形，求的长.答案:（1） ，∠ACB=90°∴AB=6√2备用图1BACCEFBAD备用图2BAC小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∥，CD=12AC∴DF=12AB=3√2∴DE=32√2在中，（2）过点E作EH于点，可求得HE=HA=√22x，∴HD=3−√22x又可证∽，∴HDCF=HEDC，∴3−√22x6−y=√22x3∴y=−9√2x+9个（3） CE≥12AB=3√2>3，CD=3∴CE>CD∴若为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能.①当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）可得：AE=2AG=3√2，即点E在AB中点∴此时F与C重合∴BF=6②当ED=EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M（如图②）可证：△∽△，∴，∴CF32=33+32，∴CF=1∴BF=7综上所述，BF为6或7.课上习题1．已知：在△中，点、分别在边、上，∥，，，那么边的长为．2．如图△ABC中，G为重心GDAB∥，GEAC∥，求证：BD=DE=EC。HEFBADC(F)G图①EBADCM图②EFBADC小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3...