第1页高考一轮总复习•数学第3讲平面向量的数量积第六章平面向量与复数第2页高考一轮总复习•数学复习要点1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．第3页高考一轮总复习•数学理清教材强基固本01重难题型全线突破02限时跟踪检测03第4页高考一轮总复习•数学理清教材强基固本第5页高考一轮总复习•数学一平面向量数量积的定义及几何意义1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，O是平面上任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．∠AOB第6页高考一轮总复习•数学2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量叫做向量a与b的数量积，记作a·b投影向量如图，AB→＝a，CD→＝b，则叫做向量a在向量b方向上的投影向量几何意义数量积a·b等于b与a在b方向上的投影向量的乘积|a||b|·cosθA1B1→A1B1→第7页高考一轮总复习•数学二向量数量积的运算律1．a·b＝b·a.2．(λa)·b＝λ(a·b)＝．3．(a＋b)·c＝.a·(λb)a·c＋b·c第8页高考一轮总复习•数学三平面向量数量积的性质设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22a·ax21＋y21a·b|a||b|a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a||b|第9页高考一轮总复习•数学常/用/结/论1．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.2．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3．向量两个a与b的角角，有夹为锐则a·b>0，反之不成立(因角为夹为0不成立时)．4．向量两个a与b的角角，有夹为钝则a·b<0，反之不成立(因角为夹为π不成立时)．第10页高考一轮总复习•数学1．判断下列结论是否正确．(1)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()第11页高考一轮总复习•数学2．(2024·海南海口模拟)已知平面向量a，b的夹角为π3，且|a|＝2，b＝(－1，3)，则a在b方向上的投影向量为()A.32，12B.－32，12C.－12，32D.12，32解析：a在b方向上的投影向量为|a|cosθ·b|b|＝2×cosπ3×－1，32＝－12，32.故选C.答案解析第12页高考一轮总复习•数学3．(2024·山宁段考东济阶试)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB→与AC→的夹角为60°，则|MA→|＝________.解析：因为M为BC的中点，所以AM→＝12(AB→＋AC→)，所以|MA→|2＝14(AB→＋AC→)2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14×(1＋9＋2×1×3cos60°)＝134，所以|MA→|＝132.132第13页高考一轮总复习•数学4．(2024·北京模拟)已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________．解析：设a，b的角夹为θ，依意，题(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3×cosθ－2×32＝0，则cosθ＝－59.－59第14页高考一轮总复习•数学重难题型全线突破第15页高考一轮总复习•数学题型平面向量数量积的概念及运算典例1(1)已知a＝(1,2)，b为单位向量，若a·b＋|a|·|b|≤0，则b＝()A.55，255B.－55，255C.55，－255D.－55，－255(2)已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→注意各向量的夹角并非三角形的内角．的值是________．第16页高考一轮总复习•数学解析：(1)由a·b＋|a|·|b|≤0，可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|a|·|b|≤0，得cos〈a，b〉＋1≤0，从两向量的夹角作为切入点，代入条件方程．得cos〈a，b〉≤－1，又cos〈a，b〉≥－1，所以cos〈a，b〉＝－1，得〈a，b〉＝180°，可知a与b共且...
