2025年新高考数学复习资料思维拓展07 新高考压轴题中函数的新定义问题(精讲+精练)-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版.docx本文件免费下载 【共34页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展07新高考压轴题中函数的新定义问题(精讲+精练)①定义新性质②定义新概念③定义新运算一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧1.可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解;2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻;3.发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律;4.如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概念.【典例1】(2024·福建泉州·模拟预测)固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年,莱布尼茨等得出悬链线的方程为,其中为参数.当时,该表达式就是双曲余弦函数,记为,悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.已知一、必备知识整合二、考点分类精讲小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com三角函数满足性质:①导数:;②二倍角公式:;③平方关系:.定义双曲正弦函数为.(1)写出,具有的类似于题中①、②、③的一个性质,并证明该性质;(2)任意,恒有成立,求实数的取值范围;(3)正项数列满足,,是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2),(3)存在实数,使得成立.【分析】(1)①求导数,②用二倍角公式,③利用平方关系;证明即可;(2)构造函数,求导数,利用导数讨论函数的单调性,求的取值范围即可;(3)方法一、求出,,,猜想,用数学归纳法证明即可.方法二、构造数列,根据,利用递推公式求解即可.【详解】(1)①导数:,,证明如下:,②二倍角公式:,证明如下:;③平方关系:,证明如下:;(2)令,,,①当时,由,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又因为,所以,等号不成立,所以,即为增函数,此时,对任意,恒成立,满足题意;②当时,令,,则,可知是增函数,由与可知,存在唯一,使得,所以当时,,则在上为减函数,所以对任意,,不合题意;综上知,实数的取值范围是;(3)方法一、由,函数的值域为,对于任意大于1的实数,存在不为0的实数,使得,类比双曲余弦函数的二倍角公式,由,,,猜想:,由数学归纳法证明如下:①当时,成立;②假设当为正整数)时,猜想成立,即,则,符合上式,综上知,;若,设,则,解得:或,即,所以,即.综上知,存在实数,使得成立.方法二、构造数列,且,因为,所以,则,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为在上单调递增,所以,即是以2为公比的等比数列,所以,所以,所以,又因为,解得或,所以,综上知,存在实数,使得成立.【点睛】方法点睛:对于新定义的题目,一定要耐心理解定义,新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸,更考查对于新知识的获取理解能力,抓住关键点,解题不是事.【典例2】(2024·山东滨州·二模)定义:函数满足对于任意不同的,都有,则称为上的“类函数”.(1)若,判断是否为上的“2类函数”;(2)若为上的“3类函数”,求实数a的取值范围;(3)若为上的“2类函数”,且,证明:,,.【答案】(1)为上的“2类函数”(2)(3)证明见详解【分析】(1)根据题意结合“类函数”定义分析判断;(2)根据题意分析可知,均恒成立,根据函数单调性结合导数可知在内恒成立,利用参变分类结合恒成立问题分析求解;(3)分类讨论的大小关系,根据“类函数”定义结合绝对值不等式分析证明.【详解】(1)对于任意不同的,不妨设,即,...

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