小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）思维拓展07新高考压轴题中函数的新定义问题（精讲+精练）①定义新性质②定义新概念③定义新运算一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知一、必备知识整合二、考点分类精讲小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)，(3)存在实数，使得成立．【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；（2）构造函数，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求的取值范围即可；（3）方法一、求出，，，猜想，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列，根据，利用递推公式求解即可．【详解】（1）①导数：，，证明如下：，②二倍角公式：，证明如下：；③平方关系：，证明如下：；（2）令，，，①当时，由，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又因为，所以，等号不成立，所以，即为增函数，此时，对任意，恒成立，满足题意；②当时，令，，则，可知是增函数，由与可知，存在唯一，使得，所以当时，，则在上为减函数，所以对任意，，不合题意；综上知，实数的取值范围是；（3）方法一、由，函数的值域为，对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，类比双曲余弦函数的二倍角公式，由，，，猜想：，由数学归纳法证明如下：①当时，成立；②假设当为正整数）时，猜想成立，即，则，符合上式，综上知，；若，设，则，解得：或，即，所以，即．综上知，存在实数，使得成立．方法二、构造数列，且，因为，所以，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为在上单调递增，所以，即是以2为公比的等比数列，所以，所以，所以，又因为，解得或，所以，综上知，存在实数，使得成立．【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.【典例2】（2024·山东滨州·二模）定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．(1)若，判断是否为上的“2类函数”；(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，．【答案】(1)为上的“2类函数”(2)(3)证明见详解【分析】（1）根据题意结合“类函数”定义分析判断；（2）根据题意分析可知，均恒成立，根据函数单调性结合导数可知在内恒成立，利用参变分类结合恒成立问题分析求解；（3）分类讨论的大小关系，根据“类函数”定义结合绝对值不等式分析证明.【详解】（1）对于任意不同的，不妨设，即，...