小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com微专题7导数与不等式的证明高考定位导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、不等式及其性质等.【难点突破】[高考真题](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋.样题1已知函数f(x)＝ex＋exlnx(其中e是自然对数的底数).求证：f(x)≥ex2.样题2已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ex，证明：f(x)＋>g(－x).样题3已知函数f(x)＝－k，(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；(2)证明：ln＋ln＋…＋ln<(n>1).规律方法利用导数证明不等式问题的基本方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com构构造辅助函数.训练(2024·春长调研)设函数f(x)＝ex－1，其中e为自然对数的底数.求证：(1)当x>0时，f(x)>x；(2)ex－2>lnx.【精准强化练】1.(2024·合肥模拟)已知函数f(x)＝，当x＝1时，f(x)有极大值.(1)求实数a，b的值；(2)当x>0时，证明：f(x)<.2.(2024·青岛质检节选)证明：exlnx＋>1.3.(2024·全甲卷国)已知函数f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的单调区间；(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<ex－1恒成立.4.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝alnx＋1－x.(1)若f(x)≤0，求实数a的值；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)证明：当n≥2(n∈N*)时，n<1；(3)证明：＋＋…＋<lnn(n∈N*，n≥2).【解析版】[高考真题](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋.(1)解f′(x)＝aex－1，x∈R.当a≤0，时f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上；单调递减当a>0，令时f′(x)>0，得x>－lna；令f′(x)<0，得x<－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上，单调递减在(－lna，＋∞)上增单调递.上，综当a≤0，函时数f(x)在(－∞，＋∞)上；单调递减当a>0，函时数f(x)在(－∞，－lna)上，在单调递减(－lna，＋∞)上增单调递.(2)证明法一由(1)得当a>0，函时数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna.令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－＝a2－lna－，a∈(0，＋∞)，所以g′(a)＝2a－，令g′(a)>0，得a>；令g′(a)<0，得0<a<，所以函数g(a)在上，单调递减在上增，单调递所以函数g(a)的最小值为g＝－ln－＝ln>0，所以当a>0，时f(x)>2lna＋成立.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com法二当a>0，由时(1)得f(x)min＝f(－lna)＝1＋a2＋lna，故欲证f(x)>2lna＋成立，只需证1＋a2＋lna>2lna＋，即证a2－>lna.造函构数u(a)＝lna－(a－1)(a>0)，则u′(a)＝－1＝，所以当a>1，时u′(a)<0；当0<a<1，时u′(a)>0，所以函数u(a)在(0，1)上增，在单调递(1，＋∞)上，单调递减所以u(a)≤u(1)＝0，即lna≤a－1，故只需证a2－>a－1，即证a2－a＋>0.因为a2－a＋＝＋>0恒成立，所以当a>0，时f(x)>2lna＋成立.样题1已知函数f(x)＝ex＋exlnx(其中e是自然对数的底数).求证：f(x)≥ex2.证明要证f(x)≥ex2，即证ex＋exlnx≥ex2(x>0)，即＋lnx－x≥0，令g(x)＝＋lnx－x(x>0)，则g′(x)＝＋－1＝＝.令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1，当x>1，时h′(x)>0；当0<x<1，时h′(x)<0，所以h(x)在(0，1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，单调递所以h(x)≥h(1)＝0.故当0<x<1，时g′(x)<0；当x>1，时g′(x)>0，所以g(x)在(0，1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，单调递于是g(x)≥g(1)＝0，原不等式得证.样题2已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ex，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com证明：f(x)＋>g(－x).证明根据意，题g(－x)...