小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题突破卷20曲线的轨迹方程问题题型一：椭圆的轨迹方程问题1．如图所示，以过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．其中，椭圆上任意一点满足，求椭圆的标准方程．【答案】．【分析】直接按求曲线的方程步骤求解即可.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】设椭圆上任意一点P(x,y)，焦点F1(−c,0)，，因为．则，即，两边平方得，整理得，，两边平方得，整理得．两边同除以得，.由椭圆定义知，即，所以．令，得．即椭圆的标准方程为．2．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求的方程；(2)若AB分别为的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过的右焦点F与交于C，D两点，与y轴交于P点.①若E为CD的中点求点E的轨迹方程；②若AD与直线BC交于点Q，求证为定值.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）根据离心率以及两点坐标构造方程组即可求得的方程；（2）①联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得中点的表达式，再利用斜率公式可得E的轨迹方程；②对直线斜率以及两点位置关系进行分类讨论，根据点共线时斜率相等整理变形可得，即可求得，为定值.【详解】（1）设的焦距为2c，则，则，将代入椭圆方程可得，可得；又，解得，所以的方程为.（2）①由（1）知F(1,0)，由题意知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=k(x−1)，，如下图所示：联立，消去y并整理，得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，所以，所以，所以，又，所以，化简得，即点E的轨迹方程为.②证明：由（1）知，由（2）①知，当时，C，D分别为的左、右顶点，由椭圆的对称性知，不合题意，故，当P异于A，B时，设，由A，Q，D三点共线，得，由B，Q，C三点共线，得，因为，两式相除，得，解得.所以，为定值，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当P点与A点重合时，，当P点与B点重合时，，所以，为定值.3．记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q．(1)求点Q的轨迹方程；(2)求；(3)求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设点P(x0,y0)，联立直线和的方程求出，则代入，可以得到点Q的轨迹方程.（2）运用两点间距离公式得到|PF1)，，，，求出；求出，求出结合初中几何结论，求即可.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）由（2）同理可求得，将四边形转化为，的面积之差，结合余弦定理和基本不等式求解即可.【详解】（1）设点P(x0,y0)，则，则.由题知，直线的方程为，直线的方程为，联立直线和的方程有，设，则代入，得到,点Q的轨迹方程为．（2），同理可得，，，由对称性，可设，时，则，；所以，此时；时，由对称性可设，设l与x轴交于点M，则由初中几何有，，代入有，此时．综上所述，．（3）由（2）同理可证明，记四边形，，的面积分别为，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，由前面知，，，当且仅当时取等；在中，有，代入数据有，，当且仅当时取等，，当且仅当时取等．综上所述，四边形面积的最大值为．4．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为为椭圆上的动点（异于左顶点），定点在轴上，点满足，直线与椭圆交于两点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求点的轨迹方程；(2)证明：为中点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，由，可得点坐标，代入椭圆方程即可；（2）分析可得斜率存在，得出直线方程，联立椭圆消元后可得一元二次方程，根据根与系数的关系及中点坐标公式化简即可得证.【详解】（1）设，由且，可知，因为在椭圆上且异于椭圆左顶点，所以，且，所以点的轨迹方程为；（2）证明：易知直线的斜率存在，设直线，将...