小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第3平面向量的量讲数积要点复习1.理解平面向量量的念及其物理意，算平面向量的量数积概义会计数积.2.了解平面向量投影的念及投影向量的意概义.3.用量判平面向量的垂直系会数积断两个关.4.能用坐表示平面向量的量、平面向量垂直的件，表示平面向量的角标数积条会两个夹.5.会用向量方法解的平面几何、力以及其他，体向量在解决简单问题学问题实际问题会决数学和中的作用．实际问题一平面向量量的定及几何意数积义义1．向量的角夹已知非零向量两个a和b，O是平面上任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的角，向量角的范是夹夹围[0，π]．2．平面向量的量数积定义非零向量设两个a，b的角夹为θ，量则数|a||b|·cosθ叫做向量a与b的量，作数积记a·b投影向量如，图AB＝a，CD＝b，则A1B1叫做向量a在向量b方向上的投影向量几何意义量数积a·b等于b与a在b方向上的投影向量A1B1的乘积二向量量的算律数积运1．a·b＝b·a.2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.三平面向量量的性数积质设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).结论几何表示坐表示标模|a|＝|a|＝角夹cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要件条a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的系关|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤常/用/结/论1．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3．向量两个a与b的角角，有夹为锐则a·b>0，反之不成立(因角为夹为0不成立时)．4．向量两个a与b的角角，有夹为钝则a·b<0，反之不成立(因角为夹为π不成立时)．1．判下列是否正确．断结论(1)若a·b>0，则a和b的角角；若夹为锐a·b<0，则a和b的角角．夹为钝()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()2．(2024·海南海口模拟)已知平面向量a，b的角，且夹为|a|＝2，b＝(－1，)，则a在b方向上的投影向量为()A.B.C.D.解析：a在b方向上的投影向量为|a|cosθ·＝2×cos×＝.故选C.答案：C3．(2024·山宁段考东济阶试)如，在图△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB与AC的角夹为60°，则|MA|＝________.解析：因为M为BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)，所以|MA|2＝(AB＋AC)2＝(|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC)＝×(1＋9＋2×1×3cos60°)＝，所以|MA|＝.答案：4．(2024·北京模拟)已知向量a，b足满3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________．解析：设a，b的角夹为θ，依意，题(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3×cosθ－2×32＝0，则cosθ＝－.答案：－型题平面向量量的念及算数积概运典例1(1)已知a＝(1,2)，b位向量，若为单a·b＋|a|·|b|≤0，则b＝()A.B.C.D.(2)已知点A，B，C足满|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB注意各向量的角非三角形的角．夹并内的是值________．解析：(1)由a·b＋|a|·|b|≤0，可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|a|·|b|≤0，得cos〈a，b〉＋1≤0，向量的角作切入点，代入件方程．从两夹为条小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com得cos〈a，b〉≤－1，又cos〈a，b〉≥－1，所以cos〈a，b〉＝－1，得〈a，b〉＝180°，可知a与b共且反向线．可以由此直接得到b＝－.方法一：不妨设b＝(x，y)，因为b位向量为单，眼．题所以|b|＝1.由得或当b＝，时a＝b，a与b共且同向，不合意；线题当b＝，时a＝－b，a与b共且反线向，符合意．题方法二：b＝－＝－(1,2)＝，与a共的位向量可表示线单为±，“”表示与a同向的位单向量，“－”表示与a反向的位向量．单故选D.(2)方法一：如，根据意可得图题△ABC直角三角形，且为B＝，cosA＝，cosC＝，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝BC·CA＋CA·AB＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－150cosA＝－20×－15×＝－25.方法二：如，建立平面直角坐系，图标则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．坐法省筋，注算即可．标脑专运∴AB＝(－3,0)，BC＝(0,4)，CA＝(3，－4)．∴AB·BC＝－3×0＋0×4＝...