小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com特训06利用导数解决零点、交点、方程根等问题（三大题型）方法技巧1隐零点问题在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中设而不求的方法“”.方法技巧2极限思想在解决零点问题中的应用解决函数的零点问题，往往要转化为函数的图象与x轴的交点问题，故需判断函数图象的变化趋势，极限的思想方法是解决问题的有力工具.目录：01：判断、证明或讨论零点的个数02：根据零点情况求参数范围03：与函数零点相关的综合问题01：判断、证明或讨论零点的个数例1已知函数f(x)＝xsinx－.判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.解f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.证明如下： f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0，又f(x)在上的图象是连续不间断的.所以f(x)在内至少存在一个零点.又f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且只有一个零点.当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不间断的，故存在m∈，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，从而g(x)在内单调递减.当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；当x(∈m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减.又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.感悟提升利用导数求函数的零点常用方法小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.训练1已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.(1)解当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.当x(∈－，∞3－2)(3∪＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x(3∈－2，3＋2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－，∞3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减.(2)证明由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－，＋∞∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点.综上，f(x)只有一个零点.02：根据零点情况求参数范围例2已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R).(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，则f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1，1)，则切线的斜率k＝f′(1)＝2，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝f(x)－ax＋m＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝， x∈，由∴g′(x)＝0，得x＝1.当≤x＜1时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，当1＜x≤e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，故当x＝1时，函数g(x)取得极大值g(1)＝m－1，又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，且g＞g(e)，∴g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点需满足条件解得1＜m≤2＋.故实数m的取值范围是.感悟提升1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值...