小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com特训09多面体与求内切外接问题（八大题型）一、外接球问题若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面体的外接球问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置问题，其中球心位置的确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论：结论1：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。结论2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。结论3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。结论4：正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。结论5：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。二、内切球问题若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。并非所有多面体都有内切球，下面介绍几种常见多面体内切球问题：1.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。2.正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。目录：01：三棱柱02：四棱锥03：棱台04：侧棱垂直于底面05：正方体、长方体06：其他多面体07：三棱锥08：折叠问题01：三棱柱1．在一个封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，则球的体积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设的内切圆的半径为，由等面积法得，解得．由于，所以球的最大半径为，由此能求出结果．【解析】由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．所以球在底面内的投影的圆面最大不能超出的内切圆.设圆与内切，设圆的半径为.由，，，则由等面积法得，得.由于三棱柱高，若球的半径，此时能保证球在三棱柱内部，所以直三棱柱的内切球半径的最大值为.所以球的体积的最大值为：.故选：B2．在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为.【答案】【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值.【解析】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设，有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点.故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设，设球心O到平面ABD距离为OF，设，，，当且仅当时即取“=”.，.故最小为.故答案为：.【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键.3．已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．【答案】D【分析】根据几何体特征、勾股定理及其外接球体积公式计算即可.【解析】设分别为正棱柱上下底面的中心，即，由几何体的特征易知其外接球球心在上，如图所示，根据正三角形的中心性质可知，同理，设外接球半径为则，所以有，则外接球体积.故选：D【点睛】思路点睛：对于几何体外接球问题，第一步先确定球心位置，可以先通过确定一面的外接圆圆心去确定，本题几何体比较规则，容易得出球心在上下中心连线上；第二步，由点在球上及球体的特征结合勾股定理构建方程组解方程求半径即可.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．如图，在直三棱柱中，侧棱长为，，，点在上底面（包含边界）上运动，则三...