第三章一元函数的导数及其应用§3.7利用导数研究函数的零点函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现.考试要求题型一利用函数性质研究函数的零点例1已知函数f(x)＝xsinx－1.(1)函讨论数f(x)在上的性；区间单调－π2，π2因函为数f(x)的定域义为R，f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f(x)，所以函数f(x)偶函为，数又f′(x)＝sinx＋xcosx，且当x∈0，π2，时f′(x)≥0，所以函数f(x)在0，π2上增，单调递又函数f(x)偶函，所以为数f(x)在－π2，0上，单调递减上，函综数f(x)在0，π2上增，在单调递－π2，0上单调递减.(2)明：函证数y＝f(x)在[0，π]上有零两个点.由(1)得，f(x)在0，π2上增，单调递又f(0)＝－1<0，fπ2＝π2－1>0，所以f(x)在0，π2有且只有一零点，内个当x∈π2，π，令时g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx，则g′(x)＝2cosx－xsinx，当x∈π2，π，时g′(x)<0恒成立，即g(x)在π2，π上，又单调递减gπ2＝1>0，g(π)＝－π<0，存在则m∈π2，π，使得g(m)＝0，且当x∈π2，m，时g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，则f(x)在π2，m上增，单调递当x∈(m，π]，有时g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，则f(x)在(m，π]上，单调递减又fπ2＝π2－1>0，f(π)＝－1<0，所以f(x)在(m，π]上有且只有一零点，个上，函综数y＝f(x)在[0，π]上有2零点个.思维升华思维升华利用函性究函的零点，主要是根据函性、奇偶性、数质研数数单调最或的符确定函零点的，此在求解程中可值极值号数个数类问题过以通形合的方法确定函存在零点的件过数结数条.跟踪训练1(2023·湖模芜拟)已知函数f(x)＝ax＋(a－1)lnx＋－2，a∈R.(1)讨论f(x)的性；单调1x函数f(x)的定域义为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋a－1x－1x2＝ax－1x＋1x2，①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上；单调递减②若a>0，则当x∈0，1a，时f′(x)<0，f(x)，单调递减当x∈1a，＋∞，时f′(x)>0，f(x)增单调递.上，综当a≤0，时f(x)在(0，＋∞)上；单调递减当a>0，时f(x)在0，1a上，在单调递减1a，＋∞上增单调递.(2)若f(x)只有一零点，求个a的取范值围.若a≤0，f1e＝ae＋1－a＋e－2＝1e－1a＋e－1>0，f(1)＝a－1<0.合函的性可知，结数单调f(x)有唯一零点.若a>0，因函在为数0，1a上，在单调递减1a，＋∞上增，单调递所以要使得函有唯一零点，数只需f(x)min＝f1a＝1－(a－1)lna＋a－2＝(a－1)(1－lna)＝0，解得a＝1或a＝e.上，综a≤0或a＝1或a＝e.题型二数形结合法研究函数的零点例2(2023·州郑质检)已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.(1)函讨论数f(x)的性；单调f(x)＝ex－ax＋2a，定域义为R，且f′(x)＝ex－a，当a≤0，时f′(x)>0，则f(x)在R上增；单调递当a>0，令时f′(x)＝0，则x＝lna，当x<lna，时f′(x)<0，f(x)；单调递减当x>lna，时f′(x)>0，f(x)增单调递.上所述，综当a≤0，时f(x)在R上增；单调递当a>0，时f(x)在(－∞，lna)上，在单调递减(lna，＋∞)上单增调递.(2)求函数f(x)的零点个数.令f(x)＝0，得ex＝a(x－2)，当a＝0，时ex＝a(x－2)无解，∴f(x)无零点，当a≠0，时1a＝x－2ex，令φ(x)＝x－2ex，x∈R，∴φ′(x)＝3－xex，当x∈(－∞，3)，时φ′(x)>0；当x∈(3，＋∞)，时φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，3)上增，在单调递(3，＋∞)上，单调递减且φ(x)max＝φ(3)＝1e3，又x→＋∞，时φ(x)→0，x→－∞，时φ(x)→－∞，∴φ(x)的象如所示图图.当1a>1e3，即0<a<e3，时f(x)无零点；当1a＝1e3，即a＝e3，时f(x)有一零点；个当0<1a<1e3，即a>e3，时f(x)有零点；...