§5.2平面向量基本定理及坐标表示第五章平面向量与复数1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面的内两个向量，那于一平面的任么对这内一向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.若e1，e2不共，我把线们{e1，e2}叫做表示一平面所有向量的一这内个.2.平面向量的正交分解把一向量分解个为两个的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底互相垂直知识梳理3.平面向量的坐算标运(1)向量加法、法、乘算及向量的模减数运设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐的求法标①若向量的起点是坐原点，标则坐即向量的坐标为标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝则，(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21点终AB→(x2－x1，y2－y1)|AB→|x2－x12＋y2－y12知识梳理4.平面向量共的坐表示线标设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔.x1y2－x2y1＝0常用结论已知P段为线AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，点则P的坐标为x1＋x22，y1＋y22；已知△ABC的点顶A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.思考辨析判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)平面的任意向量都可以作一基底内两个为个.()(2)设{a，b}是平面的一基底，若内个λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.()×(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()(4)平面向量不的平移之后其坐不论经过怎样变换标变.()√×√教材改编题1.下列各向量中，可以作基底的是组为A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B.e1＝(2，－3)，e2＝12，－34C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)√由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共，故不能作基线为底.而选项D中的向量ee不共故可作基底线为教材改编题2.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是段线P1P2的一三等分点个(靠近点P1)，点则P的坐标为A.(2,2)B.(3，－1)C.(2,2)或(3，－1)D.(2,2)或(3,1)√教材改编题设P(x，y)，由意知题P1P—→＝13P1P2—→，∴(x－1，y－3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，即x－1＝1，y－3＝－1，∴x＝2，y＝2.教材改编题3.若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，下列成立的是则结论A.a－c与b共线B.b＋c与a共线C.a与b－c共线D.a＋b与c共线a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共；线b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共；线b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共；线为与√探究核心题型第二部分例1(1)如，在平行四形图边ABCD中，角对线AC与BD交于点O，且题型一平面向量基本定理的应用AE→＝2EO→，则ED→等于A.13AD→－23AB→B.23AD→＋13AB→C.23AD→－13AB→D.13AD→＋23AB→√因四形为边ABCD平行四形，角为边对线AC与BD交于点O，且AE→＝2EO→，所以EA→＝－13AC→，所以ED→＝EA→＋AD→＝－13AC→＋AD→＝－13(AD→＋AB→)＋AD→＝23AD→－13AB→.(2)(2023·天津模拟)已知在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，若BP→＝xa＋yb，则x＋y＝_____.－13因为D，F分别为BC，AC的中点，所以DF是△ABC的中位，所以线DFAB＝PDAP＝12，则BP→＝BA→＋AP→＝－AB→＋23AD→＝－AB→＋23×12(AB→＋AC→)＝－23a＋13b，所以x＝－23，y＝13，所以x＋y＝－13.思维升华(1)用平面向量基本定理表示向量的是利用平行四形法或应实质边则三角形法行向量的加、或乘算则进减数运.(2)用平面向量基本定理解的一般思路是：先一基底，决问题选择个用基底件和表示成向量的形式，再通向量的算并运该将条结论过运来解决.思维升华跟踪训练1(1)(多选)下列命中正确的是题A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B.若p与a，b共面，存在则实数x，y使得p＝xa＋ybC.若MP→＝xMA→＋yMB→，...