小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题21数列综合问题的探究1、（2023年全国乙卷数学（文））已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A．－1B．C．0D．【答案】B【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.3、（2023年新高考天津卷）已知是等差数列，．(1)求的通项公式和．(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．【答案】(1)，；(2)()Ⅰ证明见解析；()Ⅱ，前项和为.【详解】（1）由题意可得，解得，则数列的通项公式为，求和得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com.（2）()Ⅰ由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时，据此可得，综上可得：.()Ⅱ由()Ⅰ可知：，据此猜测，否则，若数列的公比，则，注意到，则不恒成立，即不恒成立，此时无法保证，若数列的公比，则，注意到，则不恒成立，即不恒成立，此时无法保证，综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com其前项和为：.4、【2022年新高考1卷】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1,{Snan}是公差为13的等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<2．【答案】(1)an=n(n+1)2(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13(n−1)=n+23，得到Sn=(n+2)an3，利用和与项的关系得到当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(n+2)an3−(n+1)an−13,进而得：anan−1=n+1n−1，利用累乘法求得an=n(n+1)2，检验对于n=1也成立，得到{an}的通项公式an=n(n+1)2；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+⋯+1an=2(1−1n+1)，进而证得.(1) a1=1，∴S1=a1=1,∴S1a1=1,又 {Snan}是公差为13的等差数列，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴Snan=1+13(n−1)=n+23,∴Sn=(n+2)an3,∴当n≥2时，Sn−1=(n+1)an−13，∴an=Sn−Sn−1=(n+2)an3−(n+1)an−13,整理得：(n−1)an=(n+1)an−1,即anan−1=n+1n−1,∴an=a1×a2a1×a3a2×…×an−1an−2×anan−1¿1×32×43×…×nn−2×n+1n−1=n(n+1)2，显然对于n=1也成立，∴{an}的通项公式an=n(n+1)2；(2)1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1),∴1a1+1a2+⋯+1an¿2[(1−12)+(12−13)+⋯(1n−1n+1)]=2(1−1n+1)<25、【2022年新高考2卷】已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4．(1)证明：a1=b1；(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）设数列{an}的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得m=2k−2，即可解出．(1)设数列{an}的公差为d，所以，¿，即可解得，b1=a1=d2，所以原命题得证．(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a1⇔b1×2k−1=a1+(m−1)d+a1，即2k−1=2m，亦即m=2k−2∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k=2,3,4,⋯,10，故集合{k∨bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数为10−2+1=9．题组一等差、等比数列的含参问题1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不...