小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题04点到平面的距离(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍........................................................1二、典型题型........................................................2题型一：等体积法求点到平面的距离.................................2题型二：利用向量法求点到平面的距离..............................10三、专项训练.......................................................16一、必备秘籍1、等体积法求点到平面的距离（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点2、利用向量法求点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二、典型题型题型一：等体积法求点到平面的距离1．（23·24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1的正方形中，分别是的中点，沿把这个正方形折成一个四面体使三点重合，重合后的点记为.则在四面体中，点到平面的距离为.【答案】【详解】由题意，折叠后的四面体如图所示，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为正方形边长为，分别是的中点，所以，即，又平面，所以平面，同时由，得，又，所以，，设到平面的距离为，则，即，解得.故答案为：.2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高．(1)求圆柱的体积；(2)求点A到平面的距离．【答案】(1)(2)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高，圆柱体积为：；（2）设点到平面的距离为，在等腰中，由，则，为直径，，在中，，则，由底面，底面,所以，又，平面，所以平面，平面，故，，，由等体积法，得，解得：．即点到平面的距离为．3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如图，已知长方体中，，，连接，过B点作的垂线交于E，交于F．(1)求证：平面；(2)求点A到平面的距离；【答案】(1)证明见解析小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)【详解】（1）证明：根据题意，平面，平面，得，又（已知），平面，平面，，所以平面，得.同理，平面，得.因为平面，平面，，，，所以平面.（2）因为平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，设为d，因为，，即，，所以，.故点A到平面的距离等于.4．如图，在正方体中，.(1)求证：∥平面；(2)求点到面的距离.【答案】(1)答案见详解(2)【详解】（1） ∥,平面，平面，∴∥平面（2）连接,设点到面的距离为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由已知可得,由正方体的性质可知平面,则, ，∴，解得，即点到面的距离为.5．（23·24高二上·江西九江·阶段练习）如图所示的五边形中是矩形，，沿折叠成四棱锥.(1)从条件①；②；③中任选两个作为补充条件，证明：平面平面：(2)在（1）的条件下，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）选条件①②：证明：由题意知，，，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在中，，，则，，又因为为矩形，，则，所以，在中，，由余弦定理可得，解得，所以，即，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.选条件①③：证明：由题意知，，，所以，在中，，，则，，又因为为矩形，，则，所以，又，所以，即，又因为，、平面，...