小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com黄金冲刺大题02数列（精选30题）1．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.(1)求，，并证明：数列是等差数列；(2)求.【答案】(1)，，证明见解析；(2)420.【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果.（2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】（1）当时，由条件得，所以.当时，由条件得，所以.因为，所以（），两式相减得：，即，所以，从而数列为等差数列.（2）由（1）知，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，所以数列为等差数列，首项为，所以，所以.2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：．【答案】(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）数列中，当时，，即，则，而满足上式，所以数列的通项公式是，．（2）由（1）知，，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因此，而，则，所以．3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前100项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由递推公式得，当，是首项为1，公比为2的等比数列，令，是首项为2，公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前项和公式计算即可．【详解】（1）由题意，得当时，，①．②将①代入②，得，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．又因为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，所以．令，则，而，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以．所以．（2）．4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解，（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【详解】（1）时，，即.又，也符合，所以时，，即.又，所以，所以，所以数列成等比数列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，则，所以，所以.5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，令，求证：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得：，所以．（2）由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.(1)求，，，并求数列的通项公式；(2)记，求数列的前和.【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根据题意理解可求，，，结合与互素的个数可求数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可知，，，由题意可知，正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；（2）由（1）知，所以，所以，，所以，①小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，②所以①－②得，所以.7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)若且，记，讨论数列的单调性．【答案】(1)(2)当时，单调递增；当时，单调递减【分析】（1）分两种情况讨...