小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com黄金冲刺大题02数列(精选30题)1.(2024·江苏南通·二模)设数列的前项和为,若,.(1)求,,并证明:数列是等差数列;(2)求.【答案】(1),,证明见解析;(2)420.【分析】(1)直接代入可得,再代入,结合的值求出;再由仿写出,作差后得到,即可证明结果.(2)由(1)知数列为等差数列,然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】(1)当时,由条件得,所以.当时,由条件得,所以.因为,所以(),两式相减得:,即,所以,从而数列为等差数列.(2)由(1)知,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以,所以数列为等差数列,首项为,所以,所以.2.(2024·福建福州·模拟预测)已知数列满足,().(1)求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,证明:.【答案】(1),;(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件,利用累加法,结合等差数列前项和公式求解即得.(2)利用裂项相消法求和即可得证.【详解】(1)数列中,当时,,即,则,而满足上式,所以数列的通项公式是,.(2)由(1)知,,则,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因此,而,则,所以.3.(2024·全国·模拟预测)已知数列满足且.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前100项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由递推公式得,当,是首项为1,公比为2的等比数列,令,是首项为2,公比为2的等比数列,分别求出通项公式即可;(2)由分组求和,分别计算奇数项和偶数项之和,再根据等比数列前项和公式计算即可.【详解】(1)由题意,得当时,,①.②将①代入②,得,所以是首项为1,公比为2的等比数列,所以.又因为,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以,所以.令,则,而,,所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以,所以.所以.(2).4.(2024·浙江宁波·二模)已知等差数列的公差为2,记数列的前项和为且满足.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析;(2).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】(1)根据通项与前项和之间的关系,作差可得,即可利用等比数列的定义求解,(2)根据错位相减法求和以及分组求解,结合等差等比数列求和求解.【详解】(1)时,,即.又,也符合,所以时,,即.又,所以,所以,所以数列成等比数列.(2)由(1)易得.由可得,所以.所以,所以.令,则,所以,所以.5.(2024·浙江杭州·二模)已知等差数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,令,求证:.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)设等差数列的首项为,公差为,由题意可得,解方程求出,即可求出数列的通项公式;(2)由(1)可得,由累乘法可求出的通项公式,再由裂项相消法求解即可.【详解】(1)设等差数列的首项为,公差为.由,得,解得:,所以.(2)由(1)知,,即,,,……,,利用累乘法可得:,也符合上式,所以.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6.(2024·浙江·二模)欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数,例如:,,,数列满足.(1)求,,,并求数列的通项公式;(2)记,求数列的前和.【答案】(1),,,(2)【分析】(1)根据题意理解可求,,,结合与互素的个数可求数列的通项公式;(2)求出数列的通项公式,利用错位相减法求和即可.【详解】(1)由题意可知,,,由题意可知,正偶数与不互素,所有正奇数与互素,比小的正奇数有个,所以;(2)由(1)知,所以,所以,,所以,①小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com,②所以①-②得,所以.7.(2024·重庆·模拟预测)已知数列满足.(1)求的通项公式;(2)若且,记,讨论数列的单调性.【答案】(1)(2)当时,单调递增;当时,单调递减【分析】(1)分两种情况讨...