小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题13不等式选讲1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a+1c≥3．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；(2)由(1)结合已知可得0<a+4c≤3，即可得到1a+4c≥13，再根据权方和不等式即可得证.(1)证明：由柯西不等式有[a2+b2+(2c)2](12+12+12)≥(a+b+2c)2，所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c≤3；(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由(1)得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c≥13，由权方和不等式知1a+1c=12a+224c≥(1+2)2a+4c=9a+4c≥3，当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a+1c≥3.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc≤19；(2)ab+c+ba+c+ca+b≤12❑√abc；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用三元均值不等式即可证明；(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可．(1)证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，所以a32+b32+c323≥3√a32⋅b32⋅c32，即(abc)12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=3√19时取等号．(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，所以b+c≥2❑√bc，a+c≥2❑√ac，a+b≥2❑√ab，所以ab+c≤a2❑√bc=a322❑√abc，ba+c≤b2❑√ac=b322❑√abc，ca+b≤c2❑√ab=c322❑√abcab+c+ba+c+ca+b≤a322❑√abc+b322❑√abc+c322❑√abc=a32+b32+c322❑√abc=12❑√abc当且仅当a=b=c时取等号．1．(2022·吉林长春·模拟预测(文))设函数．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求不等式的解集；(2)设a，b是两个正实数，若函数的最小值为m，且．证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先去掉绝对值，变为分段函数，再求解不等式的解集；(2)利用第一问的分段函数得到函数图象，求出函数的最小值，也就是的值，再用柯西不等式进行证明．(1)解：由已知得：，又，所以或或，解得或或综上，不等式的解集为；(2)解：由(1)可知，所以的函数图象如下所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以当时取值最小值，所以，即，又、，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取等号．2．(2022·云南昆明·模拟预测(理))设a，b，c均为正数，且．(1)求的最小值；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；(2)利用柯西不等式证明即可；(1)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解：，，都是正数，且，，当且仅当即时等号，即的最小值为；(2)证明：由柯西不等式得即，故不等式成立，当且仅当时等号成立；3．(2022·安徽淮南·二模(文))已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)讨论和分别求解；(2)当时，易知函数的最小值为，可得，代入整理得，再利用基本不等式．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)原不等式可化为①；②．解①得；解②得，所以原不等式的解集为．(2)当时，在上单调递增所以函数的最小值为，于是即，当且仅当时等号成立即4．(2022·贵州贵阳·二模(理))已知(1)证明：；(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．【答案】(1)证明见解析(2)最小值为，或【解析】【分析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)利用作差法证明不等式；(2)令代入(1)中不等式可得最小值及取得最小值是值．(1)因为，所以，当且仅当时取等号．(2)由(1)可得，所以，即，当且仅当时取等号．由，解得或．综上，的最小值为，此时，的值为或．5．(2022·四川·宜宾市教科所三模(理))已知函数．(1)解关于的不等式；(2)设，的最小值为...