小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§3.4函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造例1(2023·州苏质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log2·f，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．c>a>b答案B解析因函为数f(x)在R上足满f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函，数令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函，数g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由意知，题当x∈(－∞，0]，时f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上，单调递减又g(x)是奇函，所以数g(x)在R上，单调递减因为20.6>1,0<ln2<1，log2＝－3<0，所以log2<0<ln2<1<20.6，又a＝g(20.6)，b＝g(ln2)，c＝g，所以c>b>a.思维升华(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，造函构数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，造函构数F(x)＝.跟踪训练1(2023·重模庆拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是()A．(－∞，1)B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)答案D解析令g(x)＝且x≠0，则g′(x)＝，又任意正对实数x足满xf′(x)>2f(x)，即当x>0，时g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上增，单调递小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由f(x)偶函，为数则g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)也偶函，故为数g(x)在(－∞，0)上单调递减，则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)<0等价于g(x)＝<＝g(1)，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．命题点2利用f(x)与ex构造例2(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2022，则不等式f(x)＋1>2023ex的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C.D．(－∞，1)答案A解析造函构数F(x)＝，则F′(x)＝＝，因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，故F(x)＝在R上，单调递减f(x)＋1>2023ex可形变为>2023，又f(0)＝2022，所以F(0)＝＝2023，所以F(x)>F(0)，解得x<0.思维升华(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，造函构数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，造函构数F(x)＝.跟踪训练2(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．答案(3，＋∞)解析设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上增．单调递又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造例3已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0<x<时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx<0成立，则关于x的不等式f(x)<2fcosx的解集为()A.∪B.C.D.答案A解析因偶函为数f(x)的定域，义为所以设g(x)＝，则g(－x)＝＝，即g(x)也是偶函．数当0<x<，时小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com根据意题g′(x)＝<0，则g(x)在上，且偶函，单调递减为数则g(x)在上增．单调递所以f(x)<2fcosx⇔<⇔g(x)<g，所以解得x∈∪.思维升华函数f(x)与sinx，cosx相合造可函的几常形式结构导数种见F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝，F′(x)＝；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝，F′(x)＝.跟踪训练3已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sinx＋f(x)cosx<0，若a＝f，b＝－f，则a与b的大小关系为_____．(用“<”连接)答案a<b解析设φ(x)＝f(x)·sinx，则φ′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx，∴x∈(0，＋∞)，时φ′(x)<0，即φ(x)在(0，＋∞)上，单调递减又f(x)奇函，为数∴φ(x)偶函，为数∴φ＝φ>φ，即f·sin>f·sin，即－f>f，即f<－f，∴a<b.题型二同构法构造函数例4(1)(2...