小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为________．答案解析设△ABC的角内A，B，C所的分对边别为a，b，c，因为BD＝3DC，AD＝AB＋AC，又AD＝，cos∠BAC＝，所以AD2＝2＝c2＋b2＋bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc，又＝c2＋b2＋bc＝2＋2＋bc≥2×c×b＋bc＝bc，且当仅当c＝3b，等成立．时号所以bc≤8，又sin∠BAC＝，所以S△ABC＝bcsin∠BAC≤×8×＝.(2)(2022·天津)在△ABC中，CA＝a，CB＝b，D是AC的中点，CB＝2BE，试用a，b表示DE为________，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为________．答案b－a解析DE＝CE－CD＝b－a，AB＝CB－CA＝b－a，由AB⊥DE得(3b－a)·(b－a)＝0，即3b2＋a2＝4a·b，所以cos∠ACB＝＝≥＝，且当仅当|a|＝|b|取等，而时号0<∠ACB<π，所以∠ACB∈.思维升华用向量方法解平面几何的步决问题骤小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com平面几何问题――→向量问题――→解向量决问题――→解几何．决问题跟踪训练1(1)在△ABC中，已知·BC＝0，且·＝，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形答案A解析，分表示别AB，AC方向上的位向量，单＋在∠A的角平分上，线 ·BC＝0，∴|AB|＝|AC|，又·＝，∴cos〈AB，AC〉＝·＝，则AB与AC的角夹为60°，即∠BAC＝60°，可得△ABC是等三角形．边(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足CD＝2DB，AD＝，则BC的长为()A．3B．3C．3D．6答案A解析因为CD＝2DB，所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，设AB＝x，则AD2＝2，得37＝x2＋×x×9cos60°＋×92，即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，所以|BC|＝|AC－AB|＝＝＝3.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC中，点P满足2BP＝PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．3B．3C．1D.答案A解析由意知，题AP＝AB＋BP＝AB＋＝AB＋＝＋，又AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)，∴AP＝＋，由M，P，N三点共，得＋＝线1，∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝3，且当仅当x＝y等成立．时号故2x＋y的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则AM·MN的最大值为________．答案－解析建立如所示的平面直角坐系，图标则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，则BC＝(2,0)，CA＝(－1，)，设BM＝tBC(0≤t≤1)，则CN＝tCA(0≤t≤1)，则M(2t－1,0)，N(1－t，t)，∴AM＝(2t－1，－)，MN＝(2－3t，t)，∴AM·MN＝(2t－1)×(2－3t)＋(－)×(t)＝－6t2＋4t－2＝－62－，当t＝，时AM·MN取得最大－值.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[－1，＋1]B．[－1，]C．[，＋1]D．[2－，2＋]答案A解析a，b是位向量，单a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)心，为圆1半的上的点到原点的距离为径圆，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函求最数值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐系，量造函求最标设变构数值(范围)．(4)形合，用形的几何性求最．数结应图质值跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且AF＝λAB＋AD，则|AF|的最小值为()A.B．3C.D.答案D解析设|AB|＝x，|AD|＝y，则S＝x·y·sin＝xy＝9，∴xy＝18. AF＝λAB＋AD＝λ(AE＋EB)＋AD＝λAE＋AD， E，F，D三点共，线∴λ＋－＝1⇒λ＝，∴AF＝AB＋AD，∴|AF|2...