小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§7.8空间距离及立体几何中的探索问题考试要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．知识梳理1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度，因此PQ＝＝＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共的三点到平面线β的距离相等，则α∥β.(×)(2)点到直的距离也就是点直上任一点的度．线该与线连线长(×)(3)直线l平行于平面α，直则线l上各点到平面α的距离相等．(√)(4)直线l上点到平面两α的距离相等，则l平行于平面α.(×)教材改编题1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为()A.B．2C.D.答案A解析由正方体性可知，质A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，接连A1C1，交B1D1于O1(略图)，A1O1的即所求，由意可得长为题A1O1＝A1C1＝.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．答案解析 PA＝(－2,0，－1)，n＝为l的一位方向向量，个单∴点P到l的距离d＝＝＝.3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．答案解析如，建立空直角坐系，图间标则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，所以D1A1＝(2,0,0)，DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)．平面设A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，即则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝.题型一空间距离例1(1)(2023·沙模长拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P到直线MN的距离为()A．2B．2C．3D．2答案A解析因为MN＝(1,1,1)，所以MN的一位方向向量个单为u＝(1,1,1)．因为PM＝(1，－1,3)，故|PM|＝＝，PM·u＝(1－1＋3)＝，所以点P到直线MN的距离＝＝为2.(2)(2022·宁模济拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝AB＝AA1＝2，BC1＝2，M为线段AB上的动点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①证明：BC1⊥CM；②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．①证明因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B，在△BCC1中，BC＝2，BC1＝2，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BC＝CC，所以CB⊥C1B.因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.又因为CM⊂平面ABC，所以C1B⊥CM.②解由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B原点，建立如所示的空直角坐系．为图间标则B(0,0,0)，C(2,0,0)，C1(0,2，0)，A1(－2，2，4)，E(－1,2，2)，BC＝(2,0,0),BE＝(－1,2，2)，平面设BCE的法向量为n＝(x，y，z)，即则令y＝，则n＝(0，，－3)．又因为A1C＝(4，－2，－4)，故点A1到平面BCE的距离d＝＝.思维升华(1)点到直的距离．线①点设过P的直线l的位方向向量单为n，A直为线l外一点，点A到直线l的距离d＝；②若能求出点在直上的射影坐，可以直接利用点距离公式求距离．线标两间(2)求点面距一般有以下三方法．种①作点到面的垂，求点到垂足的距离；线②等体法；积③向量法.跟踪训练1(1)(2023·庄模枣拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答案解析以D坐原点，为标DA，DC，DD1所在直线为x、轴y、轴z，建立空直角坐系轴间标(略图)，则D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，FD1＝(－1，－1,2)，FG＝(－1,1,1)，∴点D1到直线GF的距离d＝＝＝.又|FG|＝，∴＝××＝.(2)如图所示，在长...