1/25专题02平面向量一：奔驰定理1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比已知O是ΔABC内的一点，ΔBOC,ΔAOC,ΔAOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA¿⃗OA+¿SB¿⃗OB+¿SC¿⃗OC=⃗0¿¿2.推导过程证明方法一：如图延长OA与BC边相交于点D则BDDC=SΔABDSΔACD=SΔBODSΔCOD=SΔABD−¿SΔBODSACD−¿SΔCOD=SCSB¿¿⃗OD=DCBC⃗OB+BDBC⃗OC=SBSB+SC⃗OB+SCSB+SC⃗OC ODOA=SBODSBOA=SCODSCOA=SBOD+SCODSBOA+SCOA=SASB+SC∴⃗OD=−SASB+SC⃗OA∴−SASB+SC⃗OA=SBSB+SC⃗OB+SCSB+SC⃗OC∴SA¿⃗OA+¿SB¿⃗OB+¿SC¿⃗OC=⃗0¿¿技巧导图技巧详讲2/25推论O是ΔABC内的一点，且x¿⃗OA+y⋅⃗OB+z⋅⃗OC=⃗0，则SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=¿x:y:z¿DOABC二.极化恒等式2.推导过程：三．三角形的四心1.推论（1）重心：中线的交点，①O是ΔABC的重心⇔SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=¿1:1:1¿⇔⃗OA+⃗OB+⃗OC=⃗0②中线长度分成2：1③=（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等3/25①O是ΔABC的内心⇔SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=¿a:b:c¿⇔a¿⃗OA+¿b¿⃗OB+¿c¿⃗OC=⃗0¿¿②（3）外心：①O是ΔABC的外心⇔SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=¿sin2A:sin2B:sin2C¿⇔sin2A¿⃗OA+¿sin2B¿⃗OB+¿sin2C¿⃗OC=⃗0¿¿②OO4/25（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直①O是ΔABC的垂心:⇔SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=¿tanA:tanB:tanC¿⇔tanA¿⃗OA+¿tanB¿⃗OB+¿tanC¿⃗OC=⃗0¿¿OCABD证明：如图O为三角形的垂心，tanA=CDAD,tanB=CDDB⇒tanA:tanB=DB:ADSΔBOC:SΔCOA=DB:AD∴SΔBOC:SΔCOA=¿tanA:tanB¿同理得SΔCOA:SΔAOB=¿tanB:tanC¿，SΔBOC:SΔAOB=¿tanA:tanC¿∴SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=¿tanA:tanB:tanC¿②由，得，即，所以．同理可证，．5/25技巧1奔驰定理【例1】是内一点，满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】技巧法：公共点P，三角形ABC，则常规法：是内一点，且满足，．延长到，使得，延长到，使得，连结、、，则．是的重心，设，则，，，，．故选：．技巧举证6/25【举一反三】1.已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】技巧法,所以,即公共点为P，三角形ABC，则所对应的向量，其系数为2，为整个三角形，其所对应技巧法注意事项1.条件一般是3个同起点的向量相加减且等于零向量，若系数有正有负则公共点在三角形外，系数都为正则公共点在三角形内2.三角形所对应的向量的找法（1）图像法：三角形顶上的向量（2）顶点法：公共点即起点，剩余3点构成三角形的三个顶点，对应的向量两个点其中一个点为公共点，另外一点则是三角形的顶点。7/25的系数为三个向量的系数,6，所以面积比为常规法：如图所示,,所以,即,所以,设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,故选:C2.（广东省深圳外国语学校2020）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A．3B．2C．D．【答案】D【解析】技巧法：公共点为A，三角形为PCB，则与8/25对应的向量为，则与的面积之比为常规法：点是所在平面上一点，过作，如下图所示：由，故，所以与的面积之比为，故选：D．3.（天津市红桥区2019）已知点O是内一点，满足，，则实数m为（）A．2B．-2C．4D．-4【答案】D【解析】技巧法：，常规法：由得：设，则三点共线如下图所示：9/25与反向共线本题正确选项：技巧2三角形的四心【例2-1】点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．【答案】垂【解析】，即同理可得：，点为的垂心本题正确结果：垂【例2-2】（黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学）在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心【答案】D【解析】10/25设为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：【举一反三】1.（河北省保定市）过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心【答案】B【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.如图：则有直线AM经过BC的中...