1/25专题09法向量秒求一．叉乘法求解法向量二．掐头去尾交叉法求法向量技巧导图技巧详讲2/25说明：两种方法的实质是一样，都可以使用【例1】（2020·辽宁节选）已知平面上三点，，，则平面的一个法向量为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：常规法由已知，，设平面的一个法向量为，由，可得，取，可得，，所以，平面的一个法向量为.故选：B.解法二：叉乘法由已知，，设平面的一个法向量为解法三：掐头去尾交叉法例题举证3/25【例2】（2020·全国）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：常规法,设为平面的法向量，则，化简得，∴，故选C.解法二：叉乘法4/25解法三：掐头去尾交叉法1．（2020·全国）在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（）A．B．C．D．【解析】解法一：常规法，，设平面的一个法向量为，由则，解得，．又，因此，平面的一个法向量为.故选：A.技巧强化5/25解法二：叉乘法，，设平面的一个法向量为解法三：掐头去尾交叉法，，设平面的一个法向量为2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（）A．B．C．4，D．4，【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面是坐标原点的一个法向量是y，，6/25则即得，令，解得令，解得故或，．故选：BD．解法二：叉乘法解法三：掐头去尾交叉法7/253．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是___________.【答案】，3，【解析】解法一：常规法长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，4，，，2，，，4，，，2，，8/25设平面的一个法向量是，，，则，取，得，3，，则平面的一个法向量是，3，.故答案为：，3，.解法二：叉乘法，4，，，2，，设平面的一个法向量是，，，解法三：掐头去尾交叉法4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.9/25【答案】（答案不唯一）【解析】解法一：常规法是正方形，且，，，，，，，，，，故，故， 向量是平面OCB1的法向量，10/25，，故，，取，故，平面的法向量故答案为：（答案不唯一）5．（2020·全国）已知，，.求平面的一个法向量；【答案】平面的一个法向量为（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为，，，所以，，设为平面的一个法向量，则有，所以，不妨令，则，所以平面ABC的一个法向量为；解法二：叉乘法所以，，设为平面的一个法向量，11/25解法三：掐头去尾交叉法（2）若存在实数，，使，即，则，解得，所以，即向量与平面平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．12/25求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】证明见解析；.【解析】由题意，得底面圆，点，分别为，的中点，，底面圆，在底面圆上，．，为正三角形，又因为为的中点，，又因为，且平面，平面，平面，平面，．解法一：常规法如图，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，13/25则，，，，故，，，设平面的法向量为，由，可得，令，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为．解法二：叉乘法，，设平面的法向量为，14/25解法三：掐头去尾交叉法7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC中点，E为AD中点，PA＝AC＝2，BC＝1．（1）求证：AD⊥平面PBC：（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.15/25【解析】（1）证明： 平面ABC，∴又因为，∴平面PAC，∴． ，D为PC中点，∴，又 ，∴平面PBC；（2）解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系，，，∴，，∴，，．设平面ABD的法向量为，则，令，则，得．16/25设PE与平面ABD所成角为，则．解法二：叉乘法，．设平面ABD的法向量为，设PE...