小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题九平面向量的奔驰定理1．奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0．证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，＝＝＝＝， PD＝PB＋PC，∴PD＝PB＋PC， ＝＝＝，∴PD＝－PA，即－PA＝PB＋PC，∴S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0．由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．推：已知论P为△ABC一点，且内xPA＋yPB＋zPC＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．有则(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．(2)＝||，＝||，＝||．【例题选讲】[例1](1)设点O在△ABC的内部，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A．3B．C．2D．答案A解析分取别AC、BC的中点D、E， OA＋2OB＋3OC＝0，∴OA＋OC＝－2(OB＋OC)，即2OD＝－4OE，∴O是DE的一三等分点，个∴＝3．秒根据奔定理得，杀驰S△ABC∶S△AOC＝(1＋2＋3)∶2＝3．(2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则等于()A．B．C．D．答案B解析如，由点图D在△ABC中与AB平行的中位上，且在靠近线BC的三等分点，边处而有从S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝．秒由杀AD＝AB＋AC得，DA＋2DB＋3DC＝0，根据奔定理得，驰S△BCD∶S△ABD＝1∶3．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6答案B解析由QR＝QB，得PR－PQ＝(PB－PQ)，整理得PR＝PB＋PQ＝PB＋PA，由RP＝RC，得RP＝(PC－PR)，整理得PR＝－PC，∴－PC＝PB＋PA，整理得4PA＋6PB＋9PC＝0，根据奔定理得驰∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．(4)已知点P，Q在△ABC内，PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则等于()A．B．C．D．答案A解析根据奔定理得，驰S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又 S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝．(5)点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和μ的值分别为()A．，B．，C．，D．，答案A解析秒根据奔定理，得杀驰3OA＋2OB＋4OC＝0，即3OA＋2(OA＋AB)＋4(OA＋AC)＝0，整理得AO＝AB＋AC，故选A．(6)设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．答案解析根据奔定理得，驰PA＋xPB＋yPC＝0，即AP＝2xPB＋2yPC，平方得AP2＝4x2PB2＋4y2PC2＋8xy|PB|·|PC|·cos∠BPC，又因点为P是△ABC的外心，所以|PA|＝|PB|＝|PC|，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得0<x＋y≤，且当仅当x＝y＝取等．所以时号(x＋y)max＝．【对点训练】1．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．1．答案解析设D为AC的中点，接连OD，则OA＋OC＝2OD．又OA＋OC＝－2OB，所以OD＝－OB，即O为BD的中点，而容易得从△AOB与△AOC的面之比．积为秒由杀＋＝－2，得＋＋2＝0，根据奔定理得，驰△AOB与△AOC的面之积比．为小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．2．答案4解析 D为AB的中点，则OD＝(OA＋OB)，又OA＋OB＋2OC＝0，∴OD＝－OC，∴O为CD的中点．又 D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4．秒因杀为OA＋OB＋2OC＝0，根据奔定理得，驰＝4．3．已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3PA＋2PB＋PC＝0，QA＋QB＋QC＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____．3．答案1∶2解析因为3PA＋2PB＋PC＝2(PA＋PB)＋PA＋PC＝0，所以P在与BC平行的中位上线，且是中位上的...