专题九平面向量的奔驰定理1．奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0．证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，＝＝＝＝，∵PD＝PB＋PC，∴PD＝PB＋PC，∵＝＝＝，∴PD＝－PA，即－PA＝PB＋PC，∴S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0．由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．推论：已知P为△ABC内一点，且xPA＋yPB＋zPC＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．(2)＝||，＝||，＝||．【例题选讲】[例1](1)设点O在△ABC的内部，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A．3B．C．2D．(2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则等于()A．B．C．D．(3)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6(4)已知点P，Q在△ABC内，PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则等于()A．B．C．D．(5)点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和μ的值分别为()A．，B．，C．，D．，(6)设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【对点训练】1．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．3．已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3PA＋2PB＋PC＝0，QA＋QB＋QC＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____．4．已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为()A．B．C．D．5．若M是△ABC内一点，且满足BA＋BC＝4BM，则△ABM与△ACM的面积之比为()A．B．C．D．26．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA＋OB＋2OC＝0，则△AOC的面积为__________．7．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足AD＝AB－CA，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．8．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足PA＋xPB＋yPC＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为()A．B．C．1D．2小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com