小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题23参数及点的坐标(横或纵)型取值范围模型【例题选讲】[例1](2019·全Ⅱ国)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．[规范解答](1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1．(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①，x2＋y2＝c2，②，又＋＝1．③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝．又由①知y2＝，故b＝4．由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4．当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．[例2]已知m>1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．[规范解答](1)因为直线l：x－my－＝0经过F2(，0)，所以＝，得m2＝2．又因为m>1，所以m＝，故直线l的方程为x－y－1＝0．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得2y2＋my＋－1＝0，则由Δ＝m2－8＝－m2＋8>0，知m2<8，且有y1＋y2＝－，y1·y2＝－．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由于F1(－c，0)，F2(c，0)，可知G，H．因为原点O在以线段GH为直径的圆内，所以OH·OG<0，即x1x2＋y1y2<0．所以x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝(m2＋1)·<0．解得m2<4(满足m2<8)．又因为m>1，所以实数m的取值范围是(1，2)．[例3]在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且PQ＝λPR，求实数λ的取值范围．[规范解答](1)设C(x，y)．由题意，可得·＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)．(2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立，得消去y，可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0，∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2．又0＜k＜2，∴＜k＜2．由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①，x1x2＝，② PQ＝λPR，点R在点P和点Q之间，∴x2＝λx1(λ＞1)，③联立①②③，可得＝． ＜k＜2，∴＝∈(4，)，∴4＜＜，∴＜λ＜3，且λ≠1， λ＞1，∴实数λ的取值范围为(1，3)．[例4]已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，弦设MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．[破题思路](2)给出线段MN恰被直线x＝－平分，弦MN的垂直平分线方程为y＝kx＋m，用y＝kx＋m是弦MN的中垂线及MN的中点在直线x＝－上，可设出中点坐标P，建立y0与m的关系，通过y0范围求m范围或建立m与k的关系式．注意到MN的中点在椭圆内部及直线x＝－上，其隐含条件为线段MN的中点纵坐标的范围可确定或联立直线l与椭圆方程，利用判别式Δ>0求解．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[规范解答](1)由题意可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由条件可得a＝2，c＝，则b＝1．故椭圆C的方程为＋x2＝1．(2)法一：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知4x＋y＝4，4x＋y＝4，两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得k＝－．又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－k＋m，所以m＝y0＋k＝y0．由点P在线段BB′上B′(xB′，yB′)，B(xB，yB)为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示，所以yB′<y0<yB，即－<y0<．所以－<m<，且m≠0．故m的取值范围为∪．法二：...