小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题30单变量恒成立之同构或放缩后参变分离【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则a≤g(x)min．利用分离法确定不等式参数来f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立中取范的基本步：问题参数值围骤(1)量分离，化将参数与变为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D的最大或最小．时值值(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取范．值围【例题选讲】[例1](2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．解析(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，∴f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1． f(1)＝e＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e－1＝(e－1)·(x－1)，即y＝(e－1)x＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，，∴所求三角形面积为×2×＝．(2)解法一(同构后参变分离)f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx，令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx)，显然g(x)为单调递增函数，∴又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，令h(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1＝，在(0，1)上h′(x)>0，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h(x)单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝0，lna≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．解法二(最值分析法＋隐零点法) f(x)＝aex－1－lnx＋lna，∴f′(x)＝aex－1－，且a>0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝aex－1＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立；当a>1时，<1，∴<1，∴f′f′(1)＝，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)＝aex0－1－＝0，且当x∈(0，x0)时f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时f′(x)>0，∴aex0－1＝，∴lna＋x0－1＝－lnx0，因此f(x)min＝f(x0)＝aex0－1－lnx0＋lna＝＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋2＝2lna＋1>1，∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；当0<a<1时，f(1)＝a＋lna<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立．综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)．[例2]已知函数f(x)＝x－alnx．(1)若曲线y＝f(x)＋b(a，b∈R)在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0，求a，b的值；(2)求函数g(x)＝f(x)＋(a∈R)的极值点；(3)设h(x)＝f(x)＋aex－＋lna(a>0)，若当x>a时，不等式h(x)≥0恒成立，求a的最小值．解析(1)由f(x)＝x－alnx，得y＝x－alnx＋b，∴y′＝f′(x)＝1－．由已知可得即∴a＝2，b＝1．(2)g(x)＝f(x)＋＝x－alnx＋，∴g′(x)＝1－－＝(x>0)，当a＋1≤0，即a≤－1时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，无极值点．当a＋1>0，即a>－1时，则有，当0<x<a＋1时，g′(x)<0，当x>a＋1时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，a＋1)上为减函数，在(a＋1，＋∞)上为增函数，∴x＝a＋1是g(x)的极小值点，无极大值点．综上可知，当a≤－1时，函数g(x)无极值点，当a>－1时，函数g(x)的极小值点是a＋1，无极大值点．(3)(同构后参变分离)h(x)＝f(x)＋aex－＋lna＝aex－lnx＋lna(a>0)，由题意知，当x>a时，aex－lnx＋lna≥0恒成立，又不等式aex－lnx＋lna≥0等价于aex≥ln，即ex≥ln，即xex≥ln．①①式等价于xex≥ln·eln，由x>a>0知，>1，ln>0．令φ(x)＝xex(x>0)，则原不等式即为φ(x)≥φ，又φ(x)＝xex(x>0)在(0，＋∞)上为增函数，∴原不等式等价于x≥ln，②又②式等价于ex≥，即a≥(x>a>0)，设F(x)＝(x>0)，则F′(x)＝...