专题一极坐标方程及其应用(综合型)1．极坐标系如图(1)所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ．②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)，一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．图(1)图(2)3．极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图(2)可知下面的关系式成立：或这就是极坐标与直角坐标的互化公式．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R)过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a过点，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0<θ<π)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[微点提醒]关于极坐标系1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．一般地，点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．【例题选讲】[例1]已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．(1)用x，y，θ0表示m，n；(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．[例2]已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(其中ρ≥0，0≤θ<2π)．[例3](2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．[例4]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[例5]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C2：ρ＝，θ∈[0，2π]．(1)求曲线C1的一个参数方程；(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．[例6]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[例7]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＝5，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；(2)射线OP：θ＝与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．[例8]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．[例9]在直角坐标系xOy中，曲...