小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题14利用空间向量解决立体几何中的探索性问题【方法总结】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直；另一类是探究线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．利用空间向量法解决立体几何中的探索性问题的思路：(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足位置关系、数量关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．注意：在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．【例题选讲】考点一探究线面的位置关系[例1]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．(1)求证：AC⊥BC1；(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1．解析(1)在直三柱棱ABC－A1B1C1中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1垂直两两，以C坐原点，直为标线CA，CB，CC1分别为x，轴y，轴z建立如所示的空直角坐系．轴图间标则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．因为AC＝(－3，0，0)，BC1＝(0，－4，4)，所以AC·BC1＝0，所以AC⊥BC1，即AC⊥BC1．(2)假在设AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，设AE＝tAB＝(－3t，4t，0)，其中0≤t≤1．则E(3－3t，4t，0)，B1E＝(3－3t，4t－4，－4)，B1C＝(0，－4，－4)．又因为AC1＝mB1E＋nB1C成立，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，解得t＝．所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，点这时E为AB的中点．[例2]如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析(1)设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，接连A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO．由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABCD．以OB，OC，OA1所在直分线别为x，轴y，轴z，建立如所示的空直角轴图间坐系，标则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)．由于BD＝(－2，0，0)，AA1＝(0，1，)，AA1·BD＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，∴BD⊥AA1，即BD⊥AA1．(2)假在直设线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设CP＝λCC1，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)．而有从P(0，1＋λ，λ)，BP＝(－，1＋λ，λ)．平面设DA1C1的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，则A1C1DA1又A1C1＝(0，2，0)，DA1＝(，0，)，则取n3＝(1，0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，则n3⊥BP，即n3·BP＝－－λ＝0，得λ＝－1，即点P在C1C的延上，且长线C1C＝CP．[例3]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的；若不存在，明理由．值说解析(1)因平面为PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)取AD的中点O，接连PO，CO．因为PA＝PD，所以PO⊥AD．又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO．因为AC＝CD，所以CO⊥AD．如，建立空直角坐系图间标Oxyz．由意得，题A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．则PD＝(0，－...