小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题33单变量不等式能成立之参变分离法【方法总结】单变量不等式能成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≤g(x)max．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，则a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，则a≤g(x)max．利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)能成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范围．注意“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a．(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若∃x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求参数a的取值范围．解析(1)由题意得，f′(x)＝－x＋1，设切点为(x0，f(x0))，则k＝f′(x0)＝－x0＋1＝3，解得x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切点为，代入g(x)＝3x＋a，得a＝－．(2)设h(x)＝3lnx－x2－2x，∃x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，等价于∃x>0，使h(x)＝3lnx－x2－2x>a成立，等价于a<h(x)max(x>0)．因为h′(x)＝－x－2＝＝－，令得0<x<1；令得x>1．所以函数h(x)＝3lnx－x2－2x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝－，即a<－，因此参数a的取值范围为．[例2]已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)－g(x)＋ex≤0成立，求a的取值范围．解析(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R．当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝lna．由f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；由f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞)．综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，单调递减区间为(lna，＋∞)．(2)因为∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)－g(x)＋ex≤0成立，所以ax≤，即a≤．设h(x)＝，则问题转化为a≤max．由h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当x∈(0，)时，h′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．当x＝时，函数h(x)有极大值，即最大值，为，所以a≤．故a的取值范围是．[例3]已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x．(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x－4＝． x＝3是函数f(x)的一个极值点，∴f′(3)＝0，解得a＝－6．经检验，当a＝－6时，x＝3是函数f(x)的一个极小值点，符合题意，故a＝－6．(2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－lnx0)a≥x－2x0，记F(x)＝x－lnx(x>0)，则F′(x)＝(x>0)，∴当0<x<1时，F′(x)<0，F(x)单调递减．当x>1时，F′(x)>0，F(x)单调递增．∴F(x)>F(1)＝1>0，∴a≥．记G(x)＝，x∈[，e]，则G′(x)＝＝． x∈[，e]，∴2－2lnx＝2(1－lnx)≥0，∴x－2lnx＋2>0，∴当x∈时，G′(x)<0，G(x)单调递减；当x∈(1，e)时，G′(x)>0，G(x)单调递增．∴G(x)min＝G(1)＝－1，∴a≥G(x)min＝－1，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．[例4]已知函数f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．(1)若y＝f(x)在点(0，0)处的切线为x－3y＝0，求a的值；(2)若存在x∈[1，2]，使得f(x)...