专题11等比数列的判定与证明【基本方法】等比数列的四个判定方法(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．【基本题型】[例1](1)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列(2)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)数列{an}中，a1＝p，an＋1＝qan＋d(n∈N*，p，q，d是常数)，则d＝0是数列{an}是等比数列的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(4)在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1．设cn＝＋，则数列{an＋bn}与数列{anbn}分别为()A．首项为2，公比为2的等比数列；首项为1，公比为2的等比数列B．首项为1，公比为2的等比数列；首项为2，公比为2的等比数列C．首项为2，公比为4的等比数列；首项为1，公比为4的等比数列D．首项为1，公比为4的等比数列；首项为2，公比为4的等比数列(5)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是()A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同[例2]已知a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn．(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[例3](2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0．(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ．[例4]已知数列{an}的首项a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝．(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例5]已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列．[例6]已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．[例7]已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列．[例8]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，设bn＝a2n－1．(1)求b2，b3，并证明bn＋1＝2bn＋2；(2)①证明：数列{bn＋2}为等比数列；②若a2k，a2k＋1,9＋a2k＋2成等比数列，求正整数k的值．[例9](2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4．(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．[例10](2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝．(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[例11]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数．(1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．[例12]设等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝(a1，1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{bn}...