专题四过极点的射线上线段长度及与长度相关的问题极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．已知极坐标方程求线段的长度有两种方法方法一先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝，如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．【例题选讲】[例1]已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l过点(－1，0)，且斜率为，射线OM的极坐标方程为θ＝．(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，则线段PQ的长．[例2]已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l1：x＝0，直线l2：x－y＝0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求|AB|.[例3]在直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线E的极坐标方程；(2)若直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：＋为定值，并求出这个定值．[例4]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为(φ为参数)，l1，l2为过点O的两条直线，l1交M于A，B两点，l2交M于C，D两点，且l1的倾斜角为α，∠AOC＝．(1)求l1和M的极坐标方程；(2)当α＝时，求点O到A，B，C，D四点的距离之和的最大值．[例5]在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ(sinθ＋cosθ)＝,．(1)求C的极坐标方程；(2)射线OM：θ＝θ1与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|·|OQ|的取值范围．[例6]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ(ρ≥0，0≤θ<π)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；(2)射线θ＝β与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求的取值范围．[例7]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，其中a>b>0．以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2cosθ，射线l：θ＝α(ρ≥0)．若射线l与曲线C1交于点P，当α＝0时，射线l与曲线C2交于点Q，|PQ|＝1；当α＝时，射线l与曲线C2交于点O，|OP|＝.(1)求曲线C1的普通方程；(2)设直线l′：(t为参数，t≠0)与曲线C2交于点R，若α＝，求△OPR的面积．[例8]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a＞0)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos＝．(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值．(2)A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB的面积最大值．[例9](2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[例10]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1上一点A的极坐标为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cosθ．(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)设点M，N在C1上，点P在C2上(异于极点)，若O，M，P，N四点依次在同一条直线l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，求l的极坐标方程．【对点训练】1．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半...