专题05共焦点椭圆、双曲线模型秒杀结论已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m；Ⅱ．＋＝1．xyθMF2F1O【方法技巧】结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论Ⅰ：|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，找到a，m，c的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后．结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2(6)，对点练5，6），然后使用结论Ⅱ：＋＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值(如例2(5)，对点练4，6)或用柯西不等式(选修4－5)．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方．【例题选讲】[例11](59)椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()A．2B．C．2D．1(60)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈，则双曲线的离心率e2的范围是()A．B．C．D．(2，3)(61)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(，＋∞)C．(，＋∞)D．(，＋∞)【对点训练】88．F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第一象限的交点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝，则C1与C2的离心率之积为()A．2B．C．D．89．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．90．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．则该椭圆的离心率的取值范围是()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．(，)B．(，)C．(，)D．(，1)91．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为()A．6B．3C．D．92．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为()A．2B．4C．2D．2[例12](62)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝()A．B．2C．D．4(63)(2013浙江)已知F1，F2为椭圆C1：＋y2＝1和双曲线C2的公共焦点，P为它们的一个公共点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若四边形AF1BF1为矩形，则C2的离心率是()A．B．C．D．(64)(2016全国高中数学联赛四川预赛)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为()A．B．C．1D．(65)已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4e＋e的最小值是()A．B．C．D．(66)(2014湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A．B．C．3D．2(67)(2016浙...