小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题十内切球模型【方法总结】以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝＝．秒杀公式(万能公式)：r＝【例题选讲】[例](1)已知一个三棱锥的所有棱长均为，三的切球的体则该棱锥内积为________．答案π解析由意可知，三正四面体，如所示．题该棱锥为图AE＝AB·sin60°＝，AO＝AE＝，DO＝＝，三的体棱锥积VDABC＝S△ABC·DO＝，切球的半设内径为r，则VDABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V切球内＝πr3＝π．(2)(2020·全Ⅲ国)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r．作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故内切球的体积为π3＝π．(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．4πB．16πC．36πD．答案C解析设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，则圆柱的表面积S＝S底＋S侧＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．∴圆柱的体积为V＝πR2×2R＝54π，∴该圆柱的内切球的体积为×54π＝36π．故选C．(4)已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为________．答案解析以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA＝PB＝PC＝2，可知此长方体即为正方体．设外接球的半径为R，则R＝＝，设内切球的半径为r，则内切球的球心到四个面的距离均为r，由(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝·S△PCB·AP，解得r＝，所以＝＝．(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度的最大值为463，则这个四面体的棱长为________．答案4解析设这个四面体的棱长为a，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径64Ra外，612ra内，依题意得66464123aa，4a．【对点训练】1．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.1．答案解析正四面体设棱长为a，正四面体表面则积为S1＝4×·a2＝a2，其切球半正内径为四面体高的，即r＝×a＝a，因此切球表面内积为S2＝4πr2＝，＝＝则.2．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．2．答案C解析注入水的体是三体的当积该棱锥积，水面上方的小三的时设棱锥棱长为x(各都棱长相等)，依意，题＝，得x＝2．易得小三的高棱锥为，小球半设径为r，则S底面·＝4··S底面·r，得r＝，故小球的表面积S＝4πr2＝．故选C．3．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()A．6B．5C．D．3．答案D解析由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，球的球...