小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题38由函数零点或方程根的个数求参数范围问题【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x2＋－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)有唯一的零点x0，求[x0]．注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．(参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946)[规范解答](1) f(x)＝x2＋－alnx，∴f′(x)＝(x>0)，由题意得f′(2)＝0，则2×23－2a－2＝0，a＝7，经验证，当a＝7时，f(x)在x＝2处取得极值，∴f(x)＝x2＋－7lnx，f′(x)＝2x－－，∴f′(1)＝－7，f(1)＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝－7(x－1)，即7x＋y－10＝0．(2)令g(x)＝2x3－ax－2(x>0)，则g′(x)＝6x2－a，由a>0，g′(x)＝0，可得x＝，∴g(x)在上单调递减，在上单调递增．由于g(0)＝－2<0，故当x∈时，g(x)<0，又g(1)＝－a<0，故g(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x1，从而可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，由于f(x)有唯一零点x0，故x1＝x0，且x0>1，则g(x0)＝0，f(x0)＝0，可得2lnx0－－1＝0．令h(x)＝2lnx－－1(x>1)，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递增，由于h(2)＝2ln2－<2×0.7－<0，h(3)＝2ln3－>0，故x0∈(2，3)，[x0]＝2．[例2]已知函数f(x)＝xex－a(x＋1)2．(1)若a＝e，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．[破题思路]第(1)问求f(x)的极值，想到求f′(x)＝0的解，然后根据单调性求极值；第(2)问求实数a的取值范围，想到建立关于a的不等式，给出函数f(x)的解析式，并已知f(x)有两个零点，利用f(x)的图象与x轴有两个交点求解．[规范解答](1)由题意知，当a＝e时，f(x)＝xex－e(x＋1)2，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝(x＋1)ex－e(x＋1)＝(x＋1)(ex－e)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值－极小值－e所以当x＝－1时，f(x)取得极大值－；当x＝1时，f(x)取得极小值－e．(2)法一：分类讨论法f′(x)＝(x＋1)ex－a(x＋1)＝(x＋1)(ex－a)，若a＝0，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上只有一个零点，故不符合题意．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com若a<0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．由f(－1)＝－<0，且f(1)＝e－2a>0，当x→－∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．若lna<－1，即0<a<，当x∈(－∞，lna)∪(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(lna，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又f(lna)＝alna－a(lna＋1)2<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．若lna＝－1，即a＝，当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故不符合题意．若lna>－1，即a>，当x∈(－∞，－1)∪(lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1，lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又f(－1)＝－<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，0)．法二：数形结合法令f(x)＝0，即xex－a(x＋1)2＝0，得xex＝a(x＋1)2．当x＝－1时，方程为－e－1＝a×0，显然不成立，所以x＝－1不是方程的解，即－1不是函数f(x)的零点．当x≠－1时，分离参数得a＝．记g(x)＝(x≠－1)，则g′(x)＝＝．当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．当x＝0时，g(x)＝0；当x→－∞时，g(x)→0；当x→－1时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞．故函数g(x)的图象如图所示．作出直线y＝a，由图可知，当a<0时，直线y＝a和函数g(x)的图象有两个交点，此时函数f(x)有两个零点．故实数a的取值范围是(－∞，0)．[题后悟通]利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y...