小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题04用累加法与累乘法求通项公式考点一由an＋1－an＝f(n)求an型【基本方法】已知an＋1－an＝f(n)求an的方法累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，则an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1(n≥2)．代入a1得an．【基本题型】[例1](1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝解析由意得题a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝． a1＝1，∴an＝(n≥2)． 当n＝1也足此式，时满∴an＝．(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列的通项公式为an＝________．答案2n－1解析由题意，知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1．(3)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于()A．B．C．D．答案B解析方法一(法归纳)列的前数5分项别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，又a1＝1，由此可得列的一通公式数个项为an＝．方法二(迭代法)a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)，则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2)．又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．方法三(累加法)an＋1－an＝－，a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…an－an－1＝－(n≥2)，以上各相加得项an＝1＋1－＋－＋…＋－．所以an＝(n≥2)．因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．(4)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn答案A解析因为an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……，an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)．把以上各式分相加得别an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋lnn(n∈N＋)．(5)在数列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)·(an＋1－an)＝1(n∈N*)，则通项公式an＝________．答案－解析由(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，得an＋1－an＝＝＝，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋1＝＋1＝－．[例2](2018·浙江)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n．(1)求q的值；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)求数列{bn}的通项公式．解析(1)由a4＋2是a3，a5的等差中得项a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8．由a3＋a5＝20得8＝20，解得q＝2或q＝，因为q>1，所以q＝2．(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，列数{cn}前n和项为Sn．由cn＝解得cn＝4n－1．由(1)可知an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)·n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)·n－2，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·n－2＋(4n－9)·n－3＋…＋7·＋3．设Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n－2，n≥2，Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n－2＋(4n－5)·n－1，所以Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n－2－(4n－5)·n－1＝7－(4n＋3)·n－1，因此Tn＝14－(4n＋3)·n－2，n≥2，又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·n－2．【对点精练】1．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝____________．1．答案＋1解析由意得，题当n≥2，时an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1．又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1．2．已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，则an＝________．2．答案n2＋解析 an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)．∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2＝×n＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋．3．若数列{...