小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18用导数证明数列不等式【基本方法】证明与数列有关的不等式的策略利用导数证明数列不等式，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起．证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为lnx≤x－1等．【基本题型】[例1]已知函数f(x)＝kx－lnx－1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)证明：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．解析(1)法一：f(x)＝kx－lnx－1，f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)，当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0．∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．∴f(x)min＝f＝lnk， f(x)有且只有一个零点，∴lnk＝0，∴k＝1．法二：由题意知方程kx－lnx－1＝0仅有一个实根，由kx－lnx－1＝0，得k＝(x>0)，令g(x)＝(x>0)，g′(x)＝，当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0．∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝1，当x→＋∞，时g(x)→0，∴要使f(x)仅有一个零点，则k＝1．法三：函数f(x)有且只有一个零点，即直线y＝kx与曲线y＝lnx＋1相切，设切点为(x0，y0)，由y＝lnx＋1，得y′＝，∴∴k＝x0＝y0＝1，∴实数k的值为1．(2)由(1)知x－lnx－1≥0，即x－1≥lnx，当且仅当x＝1时取等号， n∈N*，令x＝，得>ln，∴1＋＋＋…＋>ln＋ln＋…＋ln＝ln(n＋1)，故1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．[例2]已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋．(1)若x＞0时，f(x)＞1恒成立，求a的取值范围；(2)求证：ln(n＋1)＞＋＋＋…＋(n∈N*)．解析(1)由ln(x＋1)＋＞1，得a＞(x＋2)－(x＋2)ln(x＋1)．令g(x)＝(x＋2)[1－ln(x＋1)]，则g′(x)＝1－ln(x＋1)－＝－ln(x＋1)－．当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以g(x)＜g(0)＝2，故a的取值范围为[2，＋∞)．(2)由(1)知ln(x＋1)＋＞1(x＞0)，所以ln(x＋1)＞．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令x＝(k＞0)，得ln(＋1)＞，即ln＞．所以ln＋ln＋ln＋…＋ln＞＋＋＋…＋，即ln(n＋1)＞＋＋＋…＋(n∈N*)．[例3]已知函数f(x)＝ax2－x·lnx＋b，g(x)＝f′(x)．(1)判断函数y＝g(x)的单调性；(2)若x∈(0，e](e≈2.718)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(3)证明：3>n－ln．解析(1)g(x)＝ax－1－lnx，x>0，∴g′(x)＝a－＝，当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a>0时，在x∈，g′(x)<0，在x∈，g′(x)>0，∴g(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)当a≤0，时函数g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min＝ae－2≤－2，故不存在最小值为2；当0<a≤时，即≥e，函数g(x)在(0，e]上单调递减，∴当x＝e时有最小值，g(x)min＝ae－1－1＝2，解得a＝，不合题意舍去；当a>时，即0<<e，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，∴当x＝时有最小值，g(x)min＝1－1＋lna＝2，解得a＝e2．综上所述，存在实数a＝e2，当x∈(0，e]时，函数g(x)的最小值是2．(3)由(2)知，g(x)＝e2x－1－lnx≥2，即e2x≥3＋lnx恒成立，即x≥(3＋lnx)恒成立，即x>(3＋lnx)，取x＝，则>，则3·>1＋ln，∴3>n＋ln＝n＋ln＝n－ln．[例4]已知函数f(x)＝ex，h(x)＝x＋lnx，g(x)＝(x－a＋1)ea．(1)设F(x)＝xf(x)－ah(x)，讨论F(x)极值点的个数；(2)判断方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，并证明e2＋e4＋e6＋…＋e2n≥e．解析(1)F(x)＝xex－a(x＋lnx)，x＞0，∴F′(x)＝(x＋1)ex－a＝，①当a≤0时，F′(x)＞0，F(x)在(0，＋∞)内单调递增，F(x)没有极值点．②当a＞0时，令H(x)＝xex－a，x∈[0，＋∞)，则H′(x)＝(1＋x)ex...