专题18用导数证明数列不等式【基本方法】证明与数列有关的不等式的策略利用导数证明数列不等式，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起．证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为lnx≤x－1等．【基本题型】[例1]已知函数f(x)＝kx－lnx－1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)证明：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．[例2]已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋．(1)若x＞0时，f(x)＞1恒成立，求a的取值范围；(2)求证：ln(n＋1)＞＋＋＋…＋(n∈N*)．[例3]已知函数f(x)＝ax2－x·lnx＋b，g(x)＝f′(x)．(1)判断函数y＝g(x)的单调性；(2)若x∈(0，e](e≈2.718)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(3)证明：3>n－ln．[例4]已知函数f(x)＝ex，h(x)＝x＋lnx，g(x)＝(x－a＋1)ea．(1)设F(x)＝xf(x)－ah(x)，讨论F(x)极值点的个数；(2)判断方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，并证明e2＋e4＋e6＋…＋e2n≥e．[例5]已知函数g(x)＝xlnx，h(x)＝(a>0)．(1)若g(x)<h(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围；(2)证明：不等式·…·<对于正整数n恒成立，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．[例6]已知函数f(x)＝ex－kx2，x∈R．(1)若k＝，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>1；(2)若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k的取值范围；(3)求证：…<e4(n∈N*)．[例7]已知函数f(x)＝ln(1＋x)－．(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋>ln2．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【对点精练】1．若函数f(x)＝ex－ax－1(a＞0)在x＝0处取极值．(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；(2)证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)(n∈N*)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．(1)当a＜0时，求f(x)的极值；(2)求证：ln(n＋1)＞＋＋…＋(n∈N*)．3．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝x－1．(1)求F(x)＝g(x)－f(x)的单调区间和最值；(2)证明：对大于1的任意自然数n，都有＋＋＋…＋＜lnn．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b．(1)若函数f(x)与g(x)的图象在点(0，1)处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b＝0时，f(x)－g(x)＞0恒成立，求整数a的最大值；(3)求证：ln2＋(ln3－ln2)2＋(ln4－ln3)3＋…＋[ln(n＋1)－lnn]n＜(n∈N*)．5．已知函数f(x)＝ln(1＋x)．(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，<f(x)<x；(2)已知e为自然对数的底数，求证：∀n∈N*，<·…·<e．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．(2017·全国Ⅲ改编)已知函数f(x)＝x－1－alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，…＜e．7．已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x．(1)若函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的斜率为1，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)证明：对任意的n∈N*，都有ln(1＋n)>成立．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com