专题七平面向量的等和线根据平面向量基本定理，如果PA，PB为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC都可以由PA，PB唯一线性表示：PC＝xPA＋yPB．特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知PA，PB为平面内两个不共线的向量，设PC＝xPA＋yPB，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况．如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0．(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若PF＝λPA＋μPB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得PC＝kPF(其中k＝＝＝)，则PC＝kPF＝kλPA＋kμPB．又PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA，PB及任一向量PF满足：PF＝λPA＋μPB(λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过点P时，k＝0；(5)若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．考点一根据等和线求基底系数和的值【方法总结】根据等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP＝xAB＋yAC，则有点P在直线BC上⇔x＋y＝1；点P与点A在直线BC异侧⇔x＋y>1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越大；点P与点A在直线BC同侧⇔x＋y<1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①OA＋2OB；②OA＋OB；③OA＋OB；④OA＋OB；⑤OA＋BA＋OB．其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)设向量OA，OB不共线(O为坐标原点)，若OC＝λOA＋μOB，且0≤λ≤μ≤1，则点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()(3)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A．B．C．D．1CABMN(4)在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．(5)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝b，向量AO＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．(6)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()A．1B．C．D．(7)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ的值为()A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comDCNABTM(8)(2013江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为_______...