小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题09等比数列基本量的计算1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝【基本方法】解决等比数列基本量计算问题的方法(1)在等比数列{an}中，a1与q是最基本的两个量，一般可设出a1和q，利用等比数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等比数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1qn－1和前n项和公式Sn＝在这两个公式中共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论．【基本题型】[例1](1)在等比数列{an}中，若a3＝2，a7＝8，则a5等于()A．4B．－4C．±4D．5答案A解析 数列{an}为等比数列，且a3＝2，a7＝8，∴a＝a3·a7＝2×8＝16，则a5＝±4， 等比数列奇数项的符号相同，∴a5＝4．(2)(2017·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．答案－8解析设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8．(3)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．32答案D解析设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32．故选D．(4)(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2答案C解析正的等比列设数数{an}的公比为q，则解得∴a3＝a1q2＝4．故选C．(5)已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，则a的值为________．答案解析设数列{an}的公比为q，因为a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，所以b1＝a＋1，b2＝2＋aq，b3＝3＋aq2，故(2＋aq)2＝(a＋1)(3＋aq2)，得关于q的方程aq2－4aq＋3a－1＝0，因小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com为a＞0，所以Δ＝4a2＋4a＞0，而数列{an}唯一，所以方程必有一根为零，故3a－1＝0，得a＝．(6)(2019·全国Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．答案解析由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3．所以S5＝＝＝．(7)等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝()A．9B．15C．18D．30答案D解析设数列{an}的公比为q(q>0)，则解得q＝2，a1＝2，所以S4＝＝30．(8)已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9＝________．答案1022解析由＝4(an＋1－an)得，a－4an＋1an＋4a＝0，∴(an＋1－2an)2＝0，＝2，∴数列{an}是首项a1＝2，公比为2的等比数列，∴S9＝＝1022．(9)(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则()A．q＝2B．an＝2nC．S10＝2047D．an＋an＋1＜an＋2答案ABD解析根据题意，对于A，正项等比数列{an}满足2q3＝4q＋2q2，变形可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又{an}为正项等比数列，则q＝2，故A正确；对于B，an＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2046，C错误；对于D，an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3an，而an＋2＝2n＋2＝4×2n＝4an＞3an，D正确．故选ABD．(10)(2015·全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．答案6解析由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝...