小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项21切线的判定与性质的综合应用【类型一：有公共点：连半径，证垂直】【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【解答】（1）证明： AB＝AC，∴∠B＝∠C， OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC， PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切线；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）解：连接AP，如图， AB为直径，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP， ∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图， BD为∠ABC平分线，∴∠1＝∠2， OB＝OD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC， ∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6， OG⊥BE，OB＝OE，∴BE＝2BG＝12．解得：BE＝12， AC是⊙O的切线，∴CD2＝CE•CB，即82＝CE（CE+12），解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），即CE的长为4．【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．【解答】（1）证明：连接OD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°， OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°， OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半径的长度为5．【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD＝1，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OA， ∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又 OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又 AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）设该圆的半径为x．在Rt△OAP中， ∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD+PD，又 OA＝OD，∴1+x＝2x，解得：x＝1∴OA＝PD＝1，所以⊙O的直径为2【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．【解答】（1）证明：连接OE， EF⊥AC，∴∠EFD＝∠EFC＝90°， AB＝AC，∴∠B＝∠C，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC＝90°， OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：过点O作OG⊥AD，垂足为G，∴∠OGF＝90°， ∠OEF＝∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OG＝EF＝3，设⊙O的半径为x，∴AB＝AC＝2x， CD＝4，∴AD＝AC﹣CD＝2x4﹣， OG⊥AD，∴AG＝AD＝x2﹣，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，∴（x2﹣）2+9＝x2，∴x＝，∴⊙O的半径为．【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．【解答】...