小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型利用垂径定理求值例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，是的直径，弦于点，，，则．【答案】2【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设，则，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．【变式训练】1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为．【答案】/厘米【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．【详解】解：如图，连接，延长交弧于，由折叠得：，是的中点，，，，，，在中，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．2．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．【答案】【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．【详解】解：连接， 是的直径，，∴， ，，∴，∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴，∴,故答案为．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．垂径定理的实际应用例题：（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】D【分析】以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．【详解】解：如图，以O为圆心，连接，由题意可得，D为弧的中点，∴， ，∴，设，则，在中，，，∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得：，∴主桥拱所在圆的半径；由题意得，水面下降为，连接， 水面下降1米，∴，则，∴，即水面的宽度为．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（）A．2米B．3米C．4米D．5米【答案】D【分析】过圆作于，如图所示，由垂径定理可知，设圆的半径为，再利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：过圆作于，如图所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com弦长为8米，，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，设圆的半径为，在中，，，，，则由勾股定理可知，即，整理得，解得，这个圆的半径为5米，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，根据题意，垂径定理构造直角三角形，勾股定理列方程求线段长是圆背景下求线段长的解题关键．2．（2023下·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【答案】【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，，，为的半径，∴，设半径为，则...