小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.3勾股定理七大类型大题专练（分层培优42题）类型一、勾股定理与折叠问题1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF．(1)求证：△BOP≌△EOF；(2)求证：CP=BF；(3)求DF的长．【答案】(1)见解析(2)见解析小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)DF=175【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得∠B=∠E=90°，利用AAS可证△BOP≌△EOF；（2）由全等三角形的性质得到OE=OB，由OP=OF即可得到EP=BF，又由折叠的性质可得，CP=EP，即可得到结论；（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，由折叠性质可得DE=DC=4，设BF=EP=CP=x，表示出AF、BP、DF，在Rt△ADF中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案．【详解】（1）解：由长方形性质可得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠性质可得∠C=∠E=90°，∴∠B=∠E=90°，在△BOP与△EOF中，¿，∴△BOP≌△EOF(AAS)；（2） △BOP≌△EOF，∴OE=OB， OP=OF，∴OE+OP=OB+OF，即EP=BF，由折叠的性质可得，CP=EP∴CP=BF；（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，由折叠性质可得DE=DC=4， △BOP≌△EOF，∴BP=EF，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x，BP=EF=3−x，DF=DE−EF=4−(3−x)=x+1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，即(4−x)2+9=(x+1)2，∴x=125，∴DF=x+1=175．【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，△ABC中，AB>AC，ADAD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点CC落在BCBC边上的点EE处．(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面积：(2)求证：AB2−AC2=BE⋅BC．【答案】(1)126(2)答案见解析【分析】（1）由AD是BC边上的高，AC=13，CD=5，得AD=12，BD=16，即有BC=BD+CD=16+5=21，故S△ABC=12BC⋅AD=126；（2）根据△ADC沿AD所在的直线翻折得到ΔADE，得AC=AE，DC=DE，而AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)=AB2−AD2−DC2=(BD−DE)(BD+DE)，即可证明AB2−AC2=BE⋅BC．【详解】（1）解： AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中， AC=13，CD=5，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AD=❑√AC2−CD2=12，在Rt△ADB中， AB=20，AD=12，∴BD=❑√AB2−AD2=16，∴BC=BD+CD=16+5=21，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×21×12=126；（2）证明： △ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，∴AC=AE，DC=DE，在RtΔADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2，在RtΔADB中，由勾股定理，得BD2=AB2−AD2，∴AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)¿AB2−AD2−DC2¿BD2−DE2¿(BD−DE)(BD+DE)， BE=BD−DE，BC=BD+DC=BD+DE，∴AB2−AC2=BE⋅BC．【点睛】本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握折叠的性质及勾股定理的应用．3．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D点处，再将边CB沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处．(1)求∠ECF的度数；(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．【答案】(1)45°(2)❑√41(3)825【分析】（1）由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，再根据∠ACB=90°，即可得出∠ECF=45°；（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC=❑√BE2+CE2=❑√41；（3）设AE=x，则AB=x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2=AB2−BC2，即x2+42=(x+5)2−41，求得x=165，即可得出S△ABC=12AB×CE=825．【详解】（1）由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，...