小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com全等变化模型六半角模型【模型展示】【模型条件】四方形ABCD中，BC=DC，∠B+∠D=180°，∠ECF=12∠BCD【模型结论】①EF=BE+FD②CF平分∠EFD，CE平分∠BEF【模型应用】证明：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【模型巩固】【例6-1】如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且∠EAF＝45°．（1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数；（2）设∠AEB＝α，则∠AFD＝（用含α的代数式表示）；（3）求证：∠AEB＝∠AEF．【解答】解：（1）由ABCD为正方形，则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，当∠AEB＝55°时，∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°55°﹣＝35°，∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°45°35°﹣﹣＝10°，（2）由四边形ABCD为正方形可知，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°， ∠AEB＝α，∴∠EAB＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α45°﹣，∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α45°﹣）＝135°﹣α．故答案为：135°﹣α．（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI，可得E、B、I三点共线，由旋转可知∠DAF＝∠BAI，AF＝AI， ∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE，在△EAF和△EAI中，，∴△EAF≌△EAI（SAS）．∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．【例6-2】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动．①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．②求证：AB＝AH．【解答】解：①DN﹣BM＝MN．证明如下：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF，△ABM和△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN；② △MAN≌△FAN，∴∠HNA＝∠DNA， ∠H＝∠D＝90°，AN＝AN，∴△AHN≌△ADN（AAS），∴AD＝AH， AD＝AB，∴AH＝AB．【例6-3】如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．【解答】解：（1）证明： AB⊥x轴，AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90° ∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC C（0，4），A（4，4）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴OC＝AC＝AB＝4 OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO ∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS） S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6 由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝1666﹣﹣＝4∴S△BEF的值为4．【例6-4】如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE， 四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中...