小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com全等变化模型三角平分线模型【模型展示】【模型条件】如图1，OP平分∠AOB，AP⊥AO，BP⊥BO如图2，OP平分∠AOB，OP⊥AB如图3，OP平分∠AOB，AO=BO【模型结论】△ABP≃△BOP.【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等三角形绕某一直线翻折而得；从图形的结构分析，是一个角的角平分线，再取一组对应边或者对应角相等，即可得到全等三角形。【知识链接】三角形角平分线定理，等腰三角形三线合一【模型总结】①如图1，角平分线上的点到角的两边距离相等（角平分线定理）；②如图2，等腰三角形的角平分线垂直平分底边（等腰三角形三线合一）；③如图2，如果一个三角形的高线、中线、角平分线有两条重合，那么这个三角形是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。【模型巩固】【例3-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．【解答】证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，则∠D＝∠5． AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°60°40°﹣﹣＝80°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∠3＝∠4＝40°＝∠C，∴QB＝QC，又∠D+5∠＝∠3+4∠＝80°，∴∠D＝40°．在△APD与△APC中，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD＝AC．即AB+BD＝AQ+QC，∴AB+BP＝BQ+AQ．【例3-2】如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，求证：BC＝BE+CD．【解答】证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°60°﹣＝120° ∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BFC＝120°，∴∠BFE＝∠CFD＝60°，在△BFE和△BFO中，，∴△BFE≌△BFO，（SAS）∴∠BFO＝∠BFE＝60°，∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△DCF（ASA），∴CO＝CD， BC＝BO+CO，∴BC＝BE+CD．【例3-3】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．【解答】（1）证明：连接OA, OB平分∠ABC，又 OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF． OM⊥AC，M为AC中点，∴OM垂直平分AC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴OA＝OC，在Rt△AEO与Rt△CFO中，,∴Rt△AEORt≌△CFO（HL），∴AE＝CF；（2）解：在Rt△BEO与Rt△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（HL），∴BE＝BF， AB＝7，BC＝14，设AE＝CF＝x，∴x+7＝14﹣x，∴，∴．【例3-4】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE， 点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，∴Rt△ABORt≌△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；（3） Rt△ABORt≌△AEO，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AB＝AE，同理可得CD＝CE， AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．【例3-5】在中，、分别平分和，和相交于点，若．求证：．【解答】如图，延长至，使得，连接，则．，，，又，，．，即．，．．【例3-6】如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（1802﹣m）°，则∠DBE的度数是（）A．（m60﹣）°B．（1802﹣m）°C．（2m90﹣）°D．（120﹣m）°【解答】解：如图，连接AE． △ABC是等边三角形，∴∠C＝∠ABC＝60°， ∠ADB＝m°，∠BDE＝（1802﹣m）°，∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°，∴∠ADC＝∠ADE， AD＝AD，DC＝DE，∴△ADC≌△ADE（SAS），∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc9...