专题01二次根式化简的四种题型全攻略类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例．等式成立的条件是()A．B．C．或D．【变式训练1】已知，为实数，且，则________．【变式训练2】已知a，b，c是的三边长，且满足关系的形状是_______．【变式训练3】若，则x的取值范围是()A．B．C．D．【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是是()A．B．C．D．【变式训练1】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简＝_____【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是()A．B．C．D．【变式训练3】已知实数、、表示在数轴上如图所示，化简．【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知，化简：，__________．例2.的三边长分别为1、k、3，则化简_____．【变式训练1】已知，化简二次根式的正确结果为()A．B．C．D．【变式训练2】若，则_______；【变式训练3】化简：_______．【变式训练4】已知.(1)求a的值；(2)若a、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)化简；(2)化简；【变式训练1】阅读理解“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于设，易知故，由解得，即．根据以上方法，化简【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考，小张解决这个问题的过程如下：①②③④在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简①．②．【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：，，所以，问题：(1)填空：__________，____________﹔(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b()，使，，即，﹐那么便有：__________．(3)化简：(请写出化简过程)【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设(其中a、b、m、n均为正整数)，则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．课后作业1．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为()A．8B．10C．8或10D．92．化简二次根式的正确结果是()A．B．C．D．3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是()A．B．C．D．4．若，则的平方根是______．5．设，是整数，方程有一个实数根是，则___________．6．已知、为实数，，则的值等于______．7．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简8．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．如：在实数范围内化简．解：设(，为非负有理数)，则．∴由①得，，代入②得：，解得，∴，∴请根据以上阅读理解，解决下列问题：(1)请直接写出的化简结果是__________；(2)化简；(3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝4，d＝2大小，cd(填写＞，＜或者＝)．(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．(3)化简：＝(直接写出答案)．10．(1)已知、为实数，且，求、的值．(2)已知实数满足，求的值．