专题04轴对称问题的三种考法类型一、函数中的最值问题(和最小，差最大问题)例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A(－6，0)，直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.【答案】(1)36；(2)证明见解析；(3)3，理由见解析.【详解】解：(1)由已知条件得：AC=12，OB=6，∴(2)过E作EFx⊥轴于点F，延长EA交y轴于点H, △BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB,BDE=90°,∠∴ ∴∴ EF轴，∴∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴∠BAE＝90°(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长， ，OA=6，∴OM+ON=3【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．(1)如图①，若点为的中点，求的长；(2)如图②，若点在轴上，且，求的度数；(3)如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6；(2)15°；(3)存在，图见解析，3【详解】解：(1)，,，又 点为的中点，∴；(2)，，∴,是等腰直角三角形，，过点作轴于点， ,∴是等腰直角三角形， ,∴， ,∴, ,,，，，，，是等腰直角三角形，即， ,；(3)存在点，；作点O关于BF的对称点D，过点作轴于点，并与射线交于点，连接,则BF垂直平分OD，∴,,∴,当D，N，M在一条直线上时，m最小，最小值为DN的长度， ,∴,∴为AB的中点， ,∴,∴,∴．故的最小值为．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB(点A在x轴正半轴上)．(1)若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：ABBD⊥；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；(2)如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】(1)①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；(2)2【详解】解：(1)①证明： △OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABDAOC(SAS)△≌，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴ABBD⊥；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BMOA⊥于M， B(2，2)，∴OM＝2，BM＝2， △OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABDAOC(SAS)≌△，∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C(0，﹣4)；当点D落在第一象限时，如图11﹣所示：作BMOA⊥于M， B(2，2)，∴OM＝2，BM＝2， △OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABDAOC(SAS)≌△，∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C(0，4)；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；(2)解：作ON'AB⊥于N'，作MNOB⊥于N，如图2所示： △OAB是等边三角形，ON'AB⊥，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BFOA⊥，BF平分∠ABO， ON'AB⊥，MNOB⊥，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON， ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．(1)如图①，若点为的中点，求的长；(2)如图②，若点在轴上，且，求的度数；(3)如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6；(2)15°；(3)存在，图见...