专题03与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．【变式训练1】如图，中，，点分别在边，上，，．求证：平分．【变式训练2】图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例1.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CEBD⊥，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例1.已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD(如图2)，判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【变式训练2】如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．(提示：过点E作EF⊥AD，垂足为F．)【变式训练3】如图所示，已知B(2﹣，0)，C(2，0)，A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【变式训练4】已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点(点E不与点A，点D重合)，满足．(1)如图2，若，且，则________，_______．(2)求证：．(3)如图3，若，请直接写出和的数量关系．课后训练1．如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．(1)求证：①平分；②．(2)如图②，若，，．求的度数．2．已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在(2)的条件下，若，求线段GF的长．3．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．(1)求证：CG=CE；(2)如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE；(3)如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长．4．已知：在四边形中，于E，且．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：；(3)如图3，在(2)的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长．5．如图，的和的平分线，相交于点，．(1)求的度数；(2)如图，连接，求证：平分；(3)如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长．6．如图所示，是的高，点H为的垂直平分线与的交点，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)在(2)的条件下，若，，求的长．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：(1)如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；(2)如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为．