专题03与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．【答案】4cm【详解】如图，过点P作PF⊥OB于点F， OC平分∠AOB，PE⊥OA，∴PF＝PE，∠EOP＝∠DOP PDOA，∠AOB＝30°，∴∠PDF＝∠AOB＝30°，∴∠DPO＝∠EOP＝∠DOP，∴PD＝OD＝8cm在RtPDF△中， ∠DFP=90°,∠FDP=30°∴PF=PD=4cm，∴PF＝PE＝4cm．【变式训练1】如图，中，，点分别在边，上，，．求证：平分．【答案】见解析【详解】证明：过点作于点．．在和中，．．点在的平分线上．平分．．【变式训练2】图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【解析】(1)证明： AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中， ，∴△ABF△≌AEC(SAS)，∴EC＝BF；(2)根据(1)， △ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF， AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°， ∠ADE＝∠BDM(对顶角相等)，∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°∠﹣ABF﹣∠BDM＝180°90°﹣＝90°，所以EC⊥BF．(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图： △EAC≌△BAF，∴AP＝AQ(全等三角形对应边上的高相等)． AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】(1)见解析；(2)AD﹣AB＝2BE，理由见解析；(3)3．【详解】(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， ∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC＝DC；(2)解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF， ∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；(3)解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH， BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG(SAS)∴∠OHB＝∠OGB， AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF， ∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF(ASA)，∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例1.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．【答案】4.5【详解】解：延长AP交BC于E， BP平分∠ABC，∴∠ABP=EBP∠， APBP⊥，∴∠APB=EPB=90°∠，在△ABP和△EBP中，，∴△ABPEBP(ASA)≌△，∴AP=PE，∴∴cm2，故答案为4.5．【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CEBD⊥，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．【答案】2【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F， BD平分∠ABC，∴∠ABD=CBD∠，在△BCE和△BFE中，，∴△BCEBFE(ASA)≌△，∴CE=EF， ∠BAC=90°，CEBD⊥，∴∠ACF+F=90°∠，∠ABD+F=90°∠，∴∠ABD=ACF∠，在△ABD和△ACF中，，∴△ABDACF(ASA)≌△，∴BD=CF， CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥...