专题02全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△≌EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．(1)求证：AC＝BD；(2)若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用](1)见解析；(2)1＜x＜4【详解】解：[探究与发现]证明： DE∥AB，∴∠B=∠D，又 BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC(ASA)；[理解与应用](1)证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF， 点E是CD的中点，∴ED=EC，在△DEF与△CEA中，，∴△DEF≌△CEA(SAS)，∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE， ∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B， AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD与△AFD中，，∴△ABD≌△AFD(AAS)，∴BD=FD，∴AC=BD；(2)解：由(1)得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x， BD=3，AD=5，在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，即x的取值范围是1＜x＜4．【变式训练1】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．(1)求证；(2)如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．【答案】(1)见解析；(2)【详解】(1)如图1所示，延长至点，使，在与中，，，，，，在与中，,，，；(2)如图所示，，，平分，，，，，，作，在与中，，，，，在与中，，，，，，设，，，．【变式训练2】(1)如图1，已知中，AD是中线，求证：；(2)如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；(3)如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】证：(1)如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP， AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴；(2)如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC， H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点， AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又 AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE， AB=CQ，AD=EQ，∴；(3)如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE， M为DE中点，∴DM=EM， BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点， AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又 AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE， AB=NC，AD=NE，∴．【变式训练3】在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．(1)如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．(2)若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．(3)若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．【答案】(1)见解析；(2)；(3)线段、和的位置关系为，数量关系为或或【详解】(1)证明：如图1，直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，，．(2)解：如图2，延长与的延长线相交于点，直线于点，直线于点，，，，，又为中点，，又，∴在和中，，，，，， ，，，，，，，．(3)位置关系：，数量关系：分四种情况讨论 直线于点．直线于点，直线于点，∴，①如图3，当直线与线段交于一点时，由(1)可知，，即，，，， ，．②当直线与线段交于一点时，如图，延长交的延长线于点．直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，...