小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题41平面解析几何第一缉1．【2021年福建预赛】已知离心率为❑√62的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1F2,P为双曲线上一点，R、r分别为△PF1F2的外接圆、内切圆半径.若∠F1PF2=60°,则Rr=¿.【答案】2❑√2+2【解析】解法一：由题意可得c=❑√62a，在△F1PF2中，由正弦定理可得：2R=2csin∠F1PF2=❑√6asin60°=2❑√2a,R=❑√2a，如图，不妨设点P在双曲线右支上，△PF1F2的内切圆I切x轴于点D,则由双曲线性质知,D为双曲线的右顶点,|F1D|=c+a,|F2D|=c−a.则tan∠IF1F2=IDF1D=rc+a,tan∠IF2F1=IDF2D=rc−a.又∠IF1F2+∠IF2F1=60°，因此,tan(∠IF1F2+∠IF2F1)=rc+a+rc−a1−rc+a⋅rc−a=¿2crc+ac−a=❑√3.将c=❑√62a代入上式，并整理得2r2+2❑√2ar−a2=0.结合r>0,解得r=2−❑√22a=12+❑√2a.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以,Rr=❑√2(2+❑√2)=2❑√2+2.解法二:依题意,c=❑√62a.记|PF1|=r1,|PF2|=r2,不妨设点P在双曲线右支上,则r1−r2=2a.在△PF1F2中，由正弦定理得：2R=r1sin∠PF2F1=r2sin∠PF1F2=2csin∠F1PF2=4❑√33c=2❑√2a所以,R=❑√2a,且：2a=r1−r2=2❑√2a⋅(sin∠PF2F1−sin∠PF1F2)¿2❑√2a⋅[sin(120°−∠PF1F2)−sin∠PF1F2]¿2❑√2a⋅(❑√32cos∠PF1F2+12sin∠PF1F2−sin∠PF1F2)¿2❑√2a⋅(❑√32cos∠PF1F2−12sin∠PF1F2)¿2❑√2a⋅cos(∠PF1F2+30°).因此,cos(∠PF1F2+30°)=❑√22.又0°<∠PF1F2<90°,30°<∠PF1F2+30°<120°所以,∠PF1F2+30°=45°,∠PF1F2=15°,r2=2❑√2a⋅sin∠PF1F2=2❑√2a⋅sin15°=2❑√2a⋅❑√6−❑√24=(❑√3−1)a,r1=(❑√3+1)a△PF1F2周长l=r1+r2+2c=(❑√3+1)a+(❑√3−1)a+❑√6a=(2❑√3+❑√6)a,△PF1F2的面积S=12r1r2sin60°=❑√32a2.由S=r⋅l2,得r=❑√3a2❑√3+❑√6=12+❑√2a.所以,Rr=❑√2(2+❑√2)=2❑√2+2.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．【2021年重庆预赛】过拋物线E:y2=2x的焦点F作两条斜率之积为−12的直线l1,l2,其中l1交E于A,C两点,l2交E于B,D两点，则¿AC∨+2∨BD∨¿的最小值为.【答案】18❑√2+6【解析】设直线的倾斜角分别为α,β,则tanαtanβ=−12,从而¿AC∨+2∨BD∨¿2sin2α+4sin2β=2tan2α+4tan2β+6≥2❑√8tan2αtan2β+6=8❑√2+6.当且仅当¿tanβ∨¿❑√2∨tanα∨¿时等号成立.3．【2021年广西预赛】设点P在椭圆x25+y2=1上，F1,F2是该椭圆的两个焦点，若△F1PF2的面积为❑√33,则∠F1PF2=¿.【答案】π3【解析】设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n,则¿,解得θ=π3.4．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】在平面直角坐标系xOy中,拋物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,过Γ上一点P(异于O)作Γ的切线,与y轴交于点Q.若|FP|=2,|FQ|=1,则向量⃗OP与⃗OQ的数量积为.【答案】32【解析】设P(t22p,t)(t≠0)，则Γ的切线PQ的方程为yt=p(x+t22p).令x=0得y=t2,故Q(0,t2).又F坐标为(p2,0),进而|FP|=❑√(p2−t22p)2+t2=p2+t22p,|FQ|=❑√p2+t22，结合|FP|=2,|FQ|=1可分别得p2+t2=4p,p2+t2=4.所以p=1,t2=3.于是⃗OP⋅⃗OQ=t22=32.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2−3x+3(a≠0)的图像与拋物线y2=2px(p>0)的图像关于直线y=x+m对称,则实数a,p,m的乘积为.【答案】−3【解析】对拋物线y=ax2−3x+3上任意一点(x0,y0),有y0=ax02−3x0+3①设点(x0,y0)关于直线y=x+m的对称点为(x1,y1).由y1+y02=x1+x02+m,x1+y1=x0+y0,可知x1=y0−m,y1=x0+m,因(x1,y1)在拋物线y2=2px上,故(x0+m)2=2p(y0−m),这等价于y0=12px02+mpx0+m22p+m②...