小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题45平面解析几何第五缉1．【2021年江西预赛】给定圆P:x2+y2=2x及抛物线S:y2=4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.【答案】x=❑√22y+1或x=−❑√22y+1.【解析】圆P的方程为(x−1)2+y2=1,则其直径长¿BC∨¿2,圆心为P(1,0),设l的方程为ky=x−1,即x=ky+1,代入拋物线方程得:y2=4ky+4,设A(x1,y1),D(x2,y2),有¿则(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2.故¿AD¿2=(y1−y2)2+(x1−x2)2=(y1−y2)2+(y12−y224)2¿(y1−y2)2[1+(y1+y24)2]=16(k2+1)2(y1+y24)2¿¿=16(k2+1)2,因此¿AD∨¿4(k2+1)，据等差,2∨BC∨¿∨AB∨+¿CD∨¿∨AD∨−¿BC∨¿,所以¿AD∨¿3∨BC∨¿6,即4(k2+1)=6,所以k=±❑√22,则l的方程为x=❑√22y+1或x=−❑√22y+1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．【2021年福建预赛】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23,A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，B为椭圆C的上顶点，F1为椭圆C的左焦点，且△A1F1B的面积为❑√52.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点D(1,0)的动直线l交椭圆C于E、F两点(点E在x轴上方¿,M、N分别为直线A1E,A2F与y轴的交点，求¿OM∨¿¿ON∨¿¿¿的值.【答案】(1)x29+y25=1；(2)12.【解析】(1)由椭圆C的离心率为23,得ca=23，于是a=32c,b=❑√52c=¿OB∨¿，所以,|A1F1|=12c,S△A1F1B=12×12c×❑√52c=❑√58c2=❑√52.因此,c=2,a=3,b=❑√5.所以，椭圆C的方程为x29+y25=1.(2)如图，易知直线l斜率不为0,设1方程为x=my+1.由¿,得(5m2+9)y2+10my−40=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),则y1+y2=−10m5m2+9,y1y2=−405m2+9.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由直线A1E方程y=y1x1+3(x+3),得yM=3y1x1+3;由直线A2F方程y=y2x2−3(x−3),得yN=−3y2x2−3.由此可得,¿OM∨¿¿ON∨¿=yM−yN=y1(x2−3)y2(x1+3)=y1(my2−2)y2(my1+4)¿¿.y1⋅(my2−2)y2⋅(my1+4)−12=2y1⋅(my2−2)−y2⋅(my1+4)2y2⋅(my1+4)=my1y2−4(y1+y2)2y2⋅(my1+4).由于my1y2−4(y1+y2)=m⋅−405m2+9−4⋅−10m5m2+9=0,因此,y1⋅(my2−2)y2⋅(my1+4)=12.所以,¿OM∨¿¿ON∨¿=12¿¿.注:由于当EF⊥x轴,E(1,2❑√103),F(1,−2❑√103),此时¿OM∨¿❑√102,∨ON∨¿❑√10,¿OM∨¿¿ON∨¿=12¿¿,因此考虑证明¿OM∨¿¿ON∨¿−12=y1(my2−2)y2(my1+4)−12=0¿¿.3．【2021年福建预赛】如图，△ABC的内切圆I与三边分别相切于点D,E,F,连接AD与内切圆I的另一个交点为P,过点P分别作AC,AB的平行线,与圆I的另一个交点分别为R,Q,△DPQ和△DPR和的内心分别为I1和I2,求证:I1I2/¿EF.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接IF,由IF⊥AB,PQ/¿AB，知IF⊥PQ，所以,F是圆I中´PQ的中点，DF平分∠PDQ.所以，D,I1,F三点共线.同理，D,I2,E三点共线.连接DF,DE,PF,PE.因为,∠AFP=∠ADF，所以,△AFP∼△ADF.所以,FPDF=APAF.同理可得,EPDE=APAE.又AE=AF,因此由上面可得,FPDF=EPDE.因为,∠I1DP=∠FDQ=∠FPQ,∠I1PD=∠I1PQ,所以,∠FI1P=∠I1DP+∠I1PD=∠FPQ+∠I1PQ=∠FPI1.因此,FP=FI1.同理,EP=EI2.结合FPDF=EPDE,得FI1FD=EI2ED.所以,I1I2/¿EF.4．【2021年重庆预赛】如图，在平面直角坐标系，已知F1,F2分别:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点.设点D(1,0)为线段OF2的中点，直线MN（不与x轴重合）过点F1且与椭圆C交于M，N两点，延长MD，ND与椭圆C交于P,Q两点，设直线MN,PQ的斜率存在且分删为k1,k2,请将k2k1表示成关于a的函小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学...