小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题31数列第七缉1．【2017年内蒙古预赛】已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk=12akak+1¿N+¿¿),其中a1=1.(1)求数列{ak}的通项公式.(2)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足：bk+1bk=k−nak+1(k=1,2,3,⋯,n),b1=1求b1+b2+⋯+bn.2．【2016年福建预赛】已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+).（1）求通项公式an；（2）设bn=1an−1n(n+1)，Tn为数列｛bn｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有T4≥Tn；（3）设cn=an+1(1+an)(1+an+1)，Rn为数列{cn}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，求λ的最小值.3．【2016年山东预赛】已知数列{xn}满足x1>0,xn+1=❑√5xn+2❑√xn2+1¿.证明：在x1,x2,⋯,x2016中，最少可以找到672个无理数.4．【2016年安徽预赛】已知数列{an}满足a0=1,a1=5，an=2a❑n−12−3an−1−92an−2(n≥2)用数学归纳法证明：an=2n+2−3.5．【2016年全国】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列{an}：a1=1，an=an−1+[pan−1n](n=2,3⋯)，其中，[x]表示不小于实数x的最小整数.证明对n=3,4⋯,p−1，均有n¿.6．【2016年浙江预赛】给定数列{xn}。证明：存在唯一分解xn=yn−zn，其中，数列{yn}非负，{zn}单调小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com不减，且yn(zn−zn−1)=0，z0=0。7．【2016年上海预赛】已知数列{an}满足an+1=−12an+13n¿．求所有a1的值，使得{an}为单调数列，即{an}为递增数列或递减数列．8．【2016年四川预赛】设等比数列{an}的前n项和为Sn=2n+r（r为常数）.记bn=2(1+log2an)¿.（1）求数列{anbn}的前n项和Tn；（2）若对于任意的正整数n，均有1+b1b1⋅1+b2b2⋯1+bnbn≥k❑√n+1，求实数k的最大值.9．【2016年辽宁预赛】已知数列{an}满足a0=1k,an=an−1+1n2a❑n−12¿a2(k∈若对于所有的n∈Z¿,均有an<1,求k的取值范围10．【2016年江苏预赛】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Z扩展”．已知数列1，2，3第一次Z扩展后得到数列1，3，2，5，3；第二次Z扩展后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3；……设第n次Z扩展后所得数列1，x1，x2，…，xm，3，并记an=1+x1+x2+⋯+xm+3．（1）求a1、a2、a3的值；（2）若bn=an−2，证明：{bn}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．11．【2016年江苏预赛】设数列{an}满足a1=1，a2=3，an=3an−1−an−2¿．是否存在正整数n，使得22016¿，（22016¿）？若存在，求出最小的正整数n的值；若不存在，请说明理由．12．【2016年湖北预赛】已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=103，且对任意实数x、y，恒有f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y)①设数列{an}满足an=3f(n)−f(n−1)¿.（1）求数列{an}的通项公式；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）令bn=24an(3an−8)2¿为数列{bn}的前n项和.证明：Sn＜1.13．【2016年河南预赛】定义数列{an}：a1=1，a2=4，an=❑√an−1an+1+1(n≥2).证明：（1）{an}为整数数列；（2）2anan+1+1(n≥1)为完全平方数。14．【2016年甘肃预赛】设数列{an}¿的前n项和为Sn，点(an,Sn)在y=16−13x的图像上.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求c1=0，且对任意的正整数n，均有cn+1−cn=log12an.证明：对任意n≥2，总有13≤1c2+1c3+⋯+1cn<34.15．【2016高中数学联赛（第02试）】设实数a1,a2,⋯,a2016满足9ai>11ai+12(i=1，2，…，2015).求(a1−a22)⋅(a2−a32)⋯⋯(a2015−a20162)⋅(a2016−a12)的最大值.16．【2016高中数学联赛（第02试）】设p与p+2均是素数，p>3.数列{an}定义为a1=2，an=an−1+⌈pan−1n⌉，n=2，3，….这里⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数.证明:对n=3，4，…，p－1均有n∨pan−1+1成立.17．【2015年浙江预赛】已知数列{an}、{bn}满足a1>0，b1>0，¿.证明：a50+b50>20...